Berechnung komplexe Zirkulation

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SebastianZ91 Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung komplexe Zirkulation
Schönen guten Abend zusammen,

ich lese aktuell ein wenig über komplexe Analysis im Kontext der Strömungsmechanik. Wie es manchmal so passiert, bin ich dabei auf etwas für mich verwirrendes gestoßen. Mit der Hoffnung darauf, dass mir jemand helfen kann/mag, wende ich mich an das Forum.
Es geht um die folgenden beiden Statements:
1) " has a nonzero circulation integral around any contour encircling the origin"
2) " has zero circulation [...] around any contour encircling the origin"

Definitionen:
Es sei eine Funktion mit . Das Integral der komplexen Geschwindigkeit entlang einer Kurve C ist definiert als:

Wobei lediglich der Realteil des Integrals die für mich wichtige Zirkulation widerspiegelt, also:


Zu 1)
Grundsätzlich verstehe ich, dass das Integral einer geschlossenen Kurve um den Ursprung ungleich Null ist, da nicht auf dem kompletten Gebiet analytisch ist. Immerhin ist die Funktion bei z=0 nicht definiert.
Wenn ich eine geschlossene Kurve C mit parametrisiere, dann ergibt das Zirkulations-Integral für diese Funktion das Ergebnis:

Das widerspricht doch aber der ursprünglichen Aussage.

Zu 2)
Abgekürzt habe ich die Kurve gleich parametrisiert und komme auf das Ergebnis:

Also genau auch wieder das Gegenteil.

Butter bei die Fische
Sagt mal, liege ich hier komplett daneben? Oder handelt es sich hier einfach um einen Fehler im Skript. Mein erster Gedanke war vielleicht, dass der Autor Imaginär- und Realteil vertauscht hat.
Aber die Definition konnte ich durch eine Internet-Recherche bestätigen...

Bin für jede Anregung dankbar.

Grüße,
Z
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Integral, Windungszahlen, Singularitaeten, Residuen, hängt alles im Residuensatz zusammen. Nicht nur Real- oder Imaginärteil.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Lies mal bei WIKIPEDIA unter dem den Suchbegriff "Zirkulation (Feldtheorie)" nach. Dort steht sinngemäß folgende Aussage:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Der Realteil des Kreisintegrals über eine komplexe Funktion entspricht dem rellen Kreisintegral über das reelle, 2-dimensional Vektorfeld . Man beachte das Minuszeichen in der zweiten Komponente!
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Diese Aussage ist gleichbedeutend mit folgende Identität:



In deiner 1.Aufgabe lautet die komplexe Funktion . Wie du richtig berechnet hast, ergibt damit die rechte Seite dieser Identität den Wert . Wir berechnen nun die linke Seite der Identität: Um das reelle Vektorfeld zu ermitteln, welches der komplexe Funktion entspricht, formen wir dieses um gemäß



Folglich lautet das zugehörige reelle, 2-dimensional Vektorfeld




Offenbar verschwindet das reelle Kreisintegral über dieses Feld (wie es sein muss), denn der kreisförmige Integrationsweg - genauer: alle Tangenten - stehen überall senkrecht auf dem Vektorfeld, da dessen Vektorpfeile strahlenförmig vom Ursprung wegstreben.
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