Krümmungsverlauf einer Funktion erstellen

13.10.2022, 11:29

punktlandung3

Krümmungsverlauf einer Funktion erstellen

Meine Frage:
Hallo!

Eine grundsätzliche Frage; wenn ein Kurvenverlauf dahingehend beziffert werden sollte, wie weit dieser gekrümmt ist, wie kann das mathematisch erreicht werden? Ich meine nicht den Anstieg. Für die Funktionen 1/x müsste es dann an der x=1 Gerade gespiegelt eine neue Funktion geben, welche diesen Wert angibt???

Meine Ideen:
Es gibt ja bereits viele digitale Tools die so etwas ungefragt leisten. Aber ich möchte das aus den Ableitungen der Funktion ermitteln. Und da die Idee; ein Standard-Kreis hat an allen Stellen die gleiche Krümmung, also könnte ich die 1. Ableitung, 2. Ableitung und gegebenenfalls die Ableitungen der Umkehrfunktion mit der Kreisfunktion verrechnen und dann ein stetiges Ergebnis bekommen? Oder bin ich da auf dem Holzweg.

Und bitte um Wegweis falls genau diese Frage schon an anderer Stelle beantwortet wurde.

13.10.2022, 12:14

adiutor62

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RE: Krümmungsverlauf einer Funktion erstellen
https://www.mathebibel.de/kruemmungsverhalten

13.10.2022, 12:36

punktlandung3

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RE: Krümmungsverlauf einer Funktion erstellen

Zitat:

Original von adiutor62

O.k! Die zweite Ableitung kann man dafür schon mal vergessen, die gibt ja dort z.B. keine Funktion.
Trotzdem ist sie eine wirkungsvolle Kennzahl.
Ich erinnere mich aber es gibt für diese Aufgabe ein paar geometrische Lösungen die sehr umständlich sind mit Geodreieck und Zirkel. Somit könnte man vermuten: universal gibt es einen ganzen Haufen eleganter Lösungen und andere Kennzahlen wie z.B. die 2. Ableitung.

13.10.2022, 13:08

adiutor62

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RE: Krümmungsverlauf einer Funktion erstellen
Die Fkt. ist streng monoton fallend. Sprungstelle bei x=0.

13.10.2022, 13:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von adiutor62
Die Fkt. ist streng monoton fallend.

Das ist natürlich nachlässig formuliert: $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ mag auf den beiden Teilintervallen $\begin{eqnarray*} (-\infty,0) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ jeweils monoton fallend sein, in der Gesamtbetrachtung als Funktion $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{R}\setminus\{0\}\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ jedoch nicht: Z.B. widerspricht $\begin{eqnarray*} f(-1) = -1 < 1 = f(1) \end{eqnarray*}$ dieser Monotonie.

13.11.2022, 17:02

punktlandung3

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Hier nochmal die Papier-und-Bleistift Version der Lösung:

Es wird eine Gerade $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ an den zu untersuchenden Punkt mit $\begin{eqnarray*} \frac{d(g(y))}{dx} = \frac{d(f(y))}{dx} \end{eqnarray*}$ gelegt und diese um $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ zu beiden Seiten begrenzt, dann werden die Lotstrecken zur Kurve als Höhen im rechtwinkligen Dreieck gemessen. Beide diese Werte stimmen überein und das gute ist, $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ kann relativ groß gewählt werden ohne dass sich das Ergebnis einer stetigen Funktion damit ändert. Aber ich nehme beide Werte um numerische Effekte auszugleichen.

Die Umsetzung ist für eine bekannte Funktion aber sehr different dazu, wenn nur eine Wertetabelle vorliegt. Bei der Anwendung an Wertetabellen sehen die Lösungsfunktionen relativ einfach aus, aber wenn die Wegdifferentiale sich ändern, entsteht $\begin{eqnarray*} k_{1} \neq k_{2} \end{eqnarray*}$ und es müssen beide Seiten gemessen und eine an die andere angepasst werden und so entstehen viele Fehlerquellen. Auch setzt die Messung der Abstände zwischen $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ voraus, einen kleinen Abschnitt $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ im Dreieck zu haben, den es im Funktionsverlauf natürlich so nicht gibt.

Das Ergebnis ist somit nicht exakt und für eine nahtlose Funktionsgleichung fehlerbehaftet. Für eine Wertetabelle macht es eine absolute Aussage die ziemlich brauchbar ist jedenfalls wenn keine Probleme auftreten.

Also die Frage ist offen. Wenigstens für gut bekannte Funktionen müsste es so etwas geben nur durch algebraische Umformung.

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