Punkt bestimmen, der einen Abstand zur einer Ebene hat

15.10.2022, 11:10

Student_HU

Punkt bestimmen, der einen Abstand zur einer Ebene hat

Guten Morgen liebes Mathematik Forum,

nach langer Zeit, wo ich kein Mahte mehr ''gemacht'' habe stehe ich wieder vor einer Aufgabe, an der ich nicht weiter komme.

Gegeben ist eine Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ und eine Gerade $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} E: \vec{x}(t,s) = \left( \begin{array}{c} 6 \\\ 0 \\\ 0 \\\ \end{array}\right) + t* \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 2 \\\ \end{array}\right)+ s* \left( \begin{array}{c} -1 \\\ 1 \\\ 0 \\\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x}(z) = \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 0 \\\ 1 \\\ \end{array}\right)+z* \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ -1 \\\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Gesucht sind Zwei Punkte, Punkt P und Q. Diese sind $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ von der Geraden $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ . Diese haben den Abstand $\begin{eqnarray*} \vec{PQ}=12 \end{eqnarray*}$ . Ferner sind P und Q symmetrisch zur der Ebene.

Mein Ansatz war folgender:

Im vorherigen Aufgabenteil musste ich den Schnittpunkt bestimmen welche die Gerade mit der Ebene hat. Dieser Schnittpunkt ist, wenn ich alles richtig gemacht habe $\begin{eqnarray*} S (4|2|0) \end{eqnarray*}$ . Dann habe ich den Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ bestimmt dieser ist:

$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \left( \begin{array}{c} -2 \\\ -2 \\\ 1 \\\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

So, ich weiß, dass die Gerade die Ebene in einem Winkel von 90° schneidet. Dann habe ich versucht eine neue Gerade aufzustellen wobei der Ortsvektor dieses mal der Schnittpunkt von der Ebene und der Geraden ist. Und der Richtungsvektor der Normalenvektor der Ebene ist.

Ferner weiß ich, dass der Abstand des Punktes P oder Q zur Ebene 6 Betragen muss. Mit diesen Informationen habe ich versucht den Parameter für die neue Gerade zu bestimmen, welcher mir den P gibt welcher auf der Geraden lieget und einen Abstand von 6 zur Ebene hat.

Mit diesem Punkt bin in dann in die Formel:

$\begin{eqnarray*} d=\frac{|\vec{n}*(\vec{r_{Q}}-\vec{r_{1}})|}{|\vec{n}|} \end{eqnarray*}$

Und habe versucht meine Rechnung zu überpüfen. Da kam aber keine 6 raus.

Meine Frage ist, wo liegt der Fehler? Gibt es einen alternativen Ansatz ?

Ich freue mich auf eure Antworten.

PS: Kennt jemand ein Programm wo ich mir den Sachverhalt grafisch darstellen könnte ?

15.10.2022, 11:50

riwe

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RE: Ein Punkt bestimmen, der einen Abstand zur einer Ebene hat
wenn ich es richtig verstehe, hat der gesuchte Punkt/ haben die gesuchten Punkte NICHT den Abstand d = 6 von der Ebene sondern von S(4/2/0)

15.10.2022, 13:43

klauss

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RE: Punkt bestimmen, der einen Abstand zur einer Ebene hat
[attach]56088[/attach]

15.10.2022, 16:50

Bürgi

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RE: Punkt bestimmen, der einen Abstand zur einer Ebene hat
Guten Tag

Zitat:

Gibt es einen alternativen Ansatz ?

Dein Schnittpunkt Gerade Ebene ist richtig. Dass die Gerade senkrecht auf der Ebene steht ist auch richtig.

Da $\begin{eqnarray*} |\vec n| = 3 \end{eqnarray*}$ brauchst Du nur das Doppelte des Normalenvektors zum Ortsvektor von S zu addieren bzw. subtrahieren, um die beiden Punkte zu erhalten, die von der Ebene den Abstand 6 haben.

16.10.2022, 10:04

Ulrich Ruhnau

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RE: Punkt bestimmen, der einen Abstand zur einer Ebene hat

Zitat:

Original von Student_HU
$\begin{eqnarray*} E: \vec{x}(t,s) = \left( \begin{array}{c} 6 \\\ 0 \\\ 0 \\\ \end{array}\right) + t* \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 2 \\\ \end{array}\right)+ s* \left( \begin{array}{c} -1 \\\ 1 \\\ 0 \\\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x}(z) = \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 0 \\\ 1 \\\ \end{array}\right)+z* \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ -1 \\\ \end{array}\right) \end{eqnarray*}$
...
Mit diesen Informationen habe ich versucht den Parameter für die neue Gerade zu bestimmen, welcher mir den P gibt welcher auf der Geraden lieget und einen Abstand von 6 zur Ebene hat.

Du brauchst keine neue Gerade. Hier läßt sich erst einmal problemlos erkennen, daß der Vektor $\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ -1 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ , der die Geradenrichtung vorgibt, senkrecht zu den Vektoren $\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \end{eqnarray*}$ steht, welche die Ebene aufspannen. Dazu muß man nur die beiden Skalarprodukte bestimmen, die hier null ergeben.
Dann kann man sich auch klarmachen, daß alle Punkte, die einen Abstand von 6 zur Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ haben, in der Doppelebene $\begin{eqnarray*} E_{12} \end{eqnarray*}$ liegen.

$\begin{eqnarray*} E_{12}: \vec{x}(t,s) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) + t \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+ s \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)\pm 2\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ -1\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Die Frage ist nur, welche beiden Punkte liegen auf der Geraden?
Dazu muß bestimmt werden, wo die Gerade g die Ebene E schneidet. Also sind s, t und z zu bestimmen. mit $\begin{eqnarray*} \vec x(z)=\vec x(s,t) \end{eqnarray*}$ .

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