Wiederholte Gruppenwahl in Schulklassen

15.10.2022, 12:44	Olaf007	Auf diesen Beitrag antworten »
Wiederholte Gruppenwahl in Schulklassen Meine Frage: Ziel ist folgendes: Eine Schulklasse mit a Schüler:innen (SuS) soll in Gruppen aufgeteilt werden mit jeweils g Leuten. Dadurch sollen n Gruppen entstehen. Es gilt also a/n=g mit a,n,g ? N, gn=a (Wir nehmen also an, dass die Anzahl der Lernenden genau aufgeteilt werden kann.) Jetzt ist dies geschehen und es sollen im zweiten Durchlauf erneut Gruppen entstehen, aber so, dass keine SuS mit einem SuS in eine Gruppe kommt, mit dem er oder sie bereits in einer Gruppe war. Wie viele neue Gruppendurchmischungen w kann es geben, bis eine solche perfekte Neugruppierung nicht mehr möglich ist? Bsp.: g = 2, a = 4, n = 2; Schüler werden mit Nummern versehen: 1. Durchlauf: G1(1,2), G2(3,4) 2. Durchlauf: G1(1,3), G2(2,4) 3. Durchlauf: G1(1,4), G2(2,3) => w = 3 Meine Ideen:* Nun mein Ziel ist es eine Formel zu finden bzw. einen Berechnungsansatz, wie w in Abhängigkeit von a und g berechnet werden kann. Folgende Dinge sind schnell zu erkennen: - 1. Wdh ist immer möglich. Dabei kann die Verteilung der SuS beliebig sein. - Ist n<g sind keine weiteren Wdh.en möglich - Bildet man ausgehend einer beliebigen SuS eine Gruppe, fallen die SuS in der ersten Gruppe weg. D.h. es können maximal (a-g) Wdh. folgen. w_max = 1+a-g ist also eine Obergrenze der Gesamtzahl aller Wdh.en. Meine Überlegungen führten über Möglichkeitsbäume, jedoch bin ich mir nicht sicher, in wie weit, das zu einem allgemeinen Fall führen kann. Bsp. g = 3, n = 3, a = 9 1. Durchlauf: G1(1,2,3), G2(4,5,6), G3(7,8,9) 2. Durchlauf: Für 1. Gruppe könnte man wieder die 1 wählen. Diese kann nur mit einer Zahl aus Gruppe G2 und einer aus G3 des 1. Durchlaufs kombiniert werden. Dafür gibt es 9 Möglichkeiten. Gruppe G2 kann dann nur noch aus den zwei verbleibenden Zahlen G1, G2, G3 aus Durchlauf 1 gebildet werden. Mit 2 gibt es dann nur noch 4 Möglichkeiten. Bleiben nur noch die drei verbleibenden Zahlen aus Gruppe 3. Also: Es gibt 36 Möglichkeiten für Durchlauf 2. 3. Durchlauf: Für alle 36 Möglichkeiten muss jetzt eine Kombination gefunden werden, in der die Zahlen noch nicht vorgekommen sind. Geht das? Jede Zahl hat jetzt schon vier Zahlen, die für eine neue Kombination "geblockt" sind, da sie schon einmal in einer Kombination zusammen standen. Nimmt man sich eine Zahl, z.B. die 1 gibt es also nur noch 6 Kombinationsmöglichkeiten. Für G2, das z.B. die 2 enthält, da diese nicht mehr mit der 1 kombiniert werden kann, fallen dann wieder zwei Zahlen weg. Eine der beiden Zahlen könnte im 2. Durchlauf mit der zwei Kombiniert worden sein. Je nach dem ergeben sich also 6 oder 5 Möglichkeiten zur Kombination mit der 2. Tja, und hier wird es kompliziert und ich sehe nicht mehr durch ^^ Und dabei ist das nur ein Beispiel mit einer recht kleinen Zahl an SuS.
17.10.2022, 07:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine obere Abschätzung für $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ kann man so bekommen: Jede Aufteilung "verbrennt" $\begin{eqnarray} n\binom{g}{2}= \frac{ng(g-1)}{2} \end{eqnarray}$ SuS-Paare. Da es aber insgesamt nur $\begin{eqnarray} \binom{a}{2} = \frac{a(a-1)}{2}= \frac{ng(ng-1)}{2} \end{eqnarray}$ solche Paare gibt und keines ja doppelt in den $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ Aufteilungen vorkommen darf, muss $\begin{eqnarray} w\frac{ng(g-1)}{2}\leq \frac{ng(ng-1)}{2} \end{eqnarray}$ gelten, umgestellt $\begin{eqnarray} w\leq \frac{ng-1}{g-1} \end{eqnarray}$ . Im deinem Beispielfall mit $\begin{eqnarray} n=2,g=2 \end{eqnarray}$ ergibt das eben jenes $\begin{eqnarray} w\leq 3 \end{eqnarray}$ . Allerdings gibt es keine Gewähr, dass dieses Maximum $\begin{eqnarray} w = \left\lfloor \frac{ng-1}{g-1} \right\rfloor \end{eqnarray}$ auch für jeden Parameterfall $\begin{eqnarray} n,g \end{eqnarray}$ auch tatsächlich erreicht werden kann. Für $\begin{eqnarray} n=2,g=2 \end{eqnarray}$ klappt es, aber im allgemeinen Fall muss das durchaus nicht zutreffen.

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