Relativen Fehler bestimmen

15.10.2022, 17:08

HiBee123

Relativen Fehler bestimmen

Hallo Matheboard!

gegeben ist die Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x,y)=sin(x)+x^2y^2+1 \end{eqnarray*}$ in einer ersten Teilaufgabe soll man das Taylorpolynom und das Lagrange Restglied bestimmen. Das hab ich auch gemacht.

Jetzt soll man den relativen Fehler bestimmen, in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ bestimmen, wenn man statt in $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ in
$\begin{eqnarray*} (\epsilon,1+\delta) \end{eqnarray*}$ startet

Ich weiß nicht ganz wie das geht. Man soll Teilaufgabe a) dazunehmen, also wenn ich raten müsste würde ich sagen man berechnet das Lagrange-Restglied in diesem Punkt und setz das dann irgendwie in Relation zu delta und epsilon... aber wie genau...

Würde mich über Tipps freuen! smile

Eure HiBee

15.10.2022, 21:14

Ulrich Ruhnau

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RE: Relativen Fehler bestimmen
Da wir den Aufgabentext nicht haben, können wir auch nicht wissen, bis zu welchem Grad das Taylorpolynom zu bestimmen ist. Das wäre aber wichtig. verwirrt

16.10.2022, 16:53

HiBee123

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RE: Relativen Fehler bestimmen
Taylorpolynom 2. Grades und entsprechendes Lagrange Restglied.

17.10.2022, 06:28

HiBee123

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RE: Relativen Fehler bestimmen
Hallo nochmal.

Ich lad jetzt hier mal die Definition von relativem Fehler hoch:

die 2. Ableitung schein ich gar nicht zu brauchen...

17.10.2022, 10:30

Huggy

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RE: Relativen Fehler bestimmen
Da passt nichts zusammen.

Zitat:

Original von HiBee123
gegeben ist die Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x,y)=sin(x)+x^2y^2+1 \end{eqnarray*}$ in einer ersten Teilaufgabe soll man das Taylorpolynom und das Lagrange Restglied bestimmen. Das hab ich auch gemacht.

Für welchen Entwicklungspunkt? Wie lautet dein Ergenis?

Zitat:

Jetzt soll man den relativen Fehler bestimmen, in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ bestimmen, wenn man statt in $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ in
$\begin{eqnarray*} (\epsilon,1+\delta) \end{eqnarray*}$ startet

Was soll das bedeuten? Der Fehler kann für einen Punkt $\begin{eqnarray*} (x_1,y_1) \end{eqnarray*}$ angegeben werden oder für ein Gebiet des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ um den Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ abgeschätzt werden. Das sind aber eindimensionale Intervalle, deren Bedeutung völlig unklar bleibt.

Zitat:

Taylorpolynom 2. Grades und entsprechendes Lagrange Restglied.

Dann enthält das Restglied und damit der Fehler die 3. Ableitungen. Dein Bild mit dem relativen Fehler passt nicht dazu.

Gebraucht wird der vollständige originale Aufgabentext.

17.10.2022, 16:22

HiBee123

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RE: Relativen Fehler bestimmen
Okay. Das ist der vollständige Aufgabentext. Obendrüber ist nochmal kurz beschrieben wie man das Taylorpolynom bestimmt, das hab ich jetzt nicht extra noch angehängt.

Hilft das weiter?

17.10.2022, 19:06

Huggy

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RE: Relativen Fehler bestimmen
Okay, mit $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\epsilon,1+ \delta) \end{eqnarray*}$ sind Punkte gemeint. Trotzdem ist mir nicht klar, wie b) gemeint ist. Tut mir Leid.

17.10.2022, 19:37

HiBee123

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RE: Relativen Fehler bestimmen
Moment mal! ich glaub mir ist gerade ein Licht aufgegangen! Kann es sein, das man den relativen Fehler des Taylorpolynoms zum richtigen Polynom bestimmen soll?

17.10.2022, 20:15

HiBee123

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RE: Relativen Fehler bestimmen
Ach mist. Den Fehler hab ich ja schon ausgerechnet. Das ist ja das Lagrange-Restglied... Also das auch nicht... mmh...

17.10.2022, 20:56

HiBee123

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RE: Relativen Fehler bestimmen
Und wenn ich das Lagrange-Restglied nehme? Ich habe berechnet, dass
$\begin{eqnarray*} R_2(x,y)=2 \xi_y (x-x_0)^2 (y-y_0)^1+2 \xi_x (x-x_0)^1(y-y_0)^2 \end{eqnarray*}$ Jetzt wähle ich
$\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)=(0,1) \end{eqnarray*}$ wie in der Aufgabenstellung und (x,y)= $\begin{eqnarray*} (\epsilon, 1+ \delta) \end{eqnarray*}$ dann gilt, $\begin{eqnarray*} 0<\xi_x<\epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1<\xi_y <1+\delta \end{eqnarray*}$ das sezte ich alles in mein Restglied ein und erhalte

$\begin{eqnarray*} 2\epsilon^2\delta^2+0<2\xi_y\epsilon^2\delta^2+2\xi_x<br /> \epsilon \delta^2<2(1+\delta)\epsilon^2\delta^2+2\epsilon\epsilon\delta^2 \end{eqnarray*}$

Zumindest schätze ich so einen Fehler ab... oder ist das jetzt völlig kokolores?

17.10.2022, 23:06

HiBee123

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RE: Relativen Fehler bestimmen
Ich schon wieder. Wollte nur sagen, ich glaube das Mysterium hat sich gelichtet mit relativer Fehler war wohl folgendes gemeint: $\begin{eqnarray*} |\frac{f(0,1)-f(\epsilon,1+\delta)}{f(0,1)}| \end{eqnarray*}$ was sich abschätzen lässt durch $\begin{eqnarray*} |\frac{f(0,1)-p_2(\epsilon,1+\delta)}{f(0,1)}| \end{eqnarray*}$ und in das entsprechende Taylorpolynom eingesetzt ergibt sich dann $\begin{eqnarray*} \epsilon+\epsilon^2 \end{eqnarray*}$

18.10.2022, 07:24

Huggy

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RE: Relativen Fehler bestimmen
Das ist eine denkbare Interpretation. Sicher ist sie nicht. Allerdings würde ich dabei auf $\begin{eqnarray*} \epsilon +(1+ \delta)^2 \epsilon^2 \end{eqnarray*}$ kommen, wenn man $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ als Entwicklungspunkt nimmt.

21.10.2022, 16:39

HiBee123

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RE: Relativen Fehler bestimmen
Der Entwicklungspunkt war ja nicht (0,0) sondern (0,1).

Heute haben wir die Lösung bekommen und gemeint war $\begin{eqnarray*} |\frac{f(\epsilon,1+\delta)-f(0,1)}{f(0,1)}| \end{eqnarray*}$ wobei wir $\begin{eqnarray*} f(\epsilon,1+\delta) \end{eqnarray*}$ mit unserer eben bestimmten Taylorreihe approximieren und dann noch das Restglied abschätzen...

War halt n bisschen unklar gestellt...

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