Hintereinanderausführungen

17.10.2022, 20:32

maths4u

Hintereinanderausführungen

Hallo an alle!

Ich soll hier wieder mit Hilfe der Kettenregel die Ableitungen folgender Hintereinanderausführungen berechnen. Stimmt die Rechnung so oder muss ich was ausbessern?

17.10.2022, 22:08

Ulrich Ruhnau

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RE: Hintereinanderausführungen
Gibt es keinen originalen Aufgabentext? geschockt

18.10.2022, 09:06

HAL 9000

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Im ersten Beispiel sind zwei Fehler:

Der erste betrifft $\begin{eqnarray*} Jf \end{eqnarray*}$ und ist ein Dimensionsfehler: Es ist Usus, dass in der Jacobimatrix-Zeile die Ableitungen ein und derselben Komponente nach den unterschiedlichen Variablen stehen - bzw. umgekehrt formuliert: In der Spalte die Ableitungen der unterschiedlichen Komponenten nach derselben Variable. In dem Sinne muss es $\begin{eqnarray*} Jf = \begin{pmatrix} e^{xy} & e^{xy}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ heißen, also eine $\begin{eqnarray*} 1\times 2 \end{eqnarray*}$ -Matrix statt wie von dir angegeben eine $\begin{eqnarray*} 2\times 1 \end{eqnarray*}$ -Matrix.

Und $\begin{eqnarray*} Jg \end{eqnarray*}$ ist komplett misslungen: Tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} Jg = \begin{pmatrix} \cos\left(\varphi\right) & -r\sin\left(\varphi\right)\\ \sin\left(\varphi\right) & r\cos\left(\varphi\right)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Womöglich hast du der nicht passenden Dimensionen in deiner Rechnung wegen nicht weiter mit dem Beispiel fortgefahren...

20.10.2022, 07:03

maths4u

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Stimmt, du hast recht.
Ich hab dann weiter gerechnet, aber irgendwie komme ich nicht weiter. Ich muss ja jetzt Jf(g) berechnen, aber ist das überhaupt so richtig?

20.10.2022, 14:05

Huggy

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Deine Matrix $\begin{eqnarray*} Jf \end{eqnarray*}$ ist nicht korrekt. Korrekt ist

$\begin{eqnarray*} Jf=\begin{pmatrix} y e^{x y} & x e^{x y} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Deine Matrix $\begin{eqnarray*} Jg \end{eqnarray*}$ ist zwar korrekt, aber anscheinend interpretierst du sie falsch. Das ist eine 2x2-Matrix. Damit ergibt sich

$\begin{eqnarray*} Jf\cdot Jg=\begin{pmatrix} y e^{x y} & x e^{x y} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \cos \varphi & -r \sin \varphi \\ \sin \varphi & r \cos\varphi \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y e^{x y} \cos \varphi + x e^{x y} \sin \varphi & y e^{x y} (-r \sin \varphi) + x e^{x y}r \cos \varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis ist also eine 1x2-Matrix. Jetzt musst du nur noch $\begin{eqnarray*} x=r \cos \varphi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=r \sin \varphi \end{eqnarray*}$ einsetzen und du hast $\begin{eqnarray*} J f(g)\cdot Jg \end{eqnarray*}$ .

20.10.2022, 14:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huggy
Deine Matrix $\begin{eqnarray*} Jf \end{eqnarray*}$ ist nicht korrekt. Korrekt ist

$\begin{eqnarray*} Jf=\begin{pmatrix} y e^{x y} & x e^{x y} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Upps, Schande über mich: Hatte komplett nur auf die Dimension und nicht auf den Inhalt geachtet. Hammer

21.10.2022, 05:05

maths4u

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Achso stimmt Huggy! Aber warum ist Jg eine 2x2 Matrix? Ich leite ja nach der kettenregel ab cosy-rsiny gehören ja zusammen. Kann ich das so getrennt hinschreiben? Das versteh' ich noch nicht

21.10.2022, 05:33

maths4u

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Ich hab‘s nun verbessert. Aber wie gesagt, ich versteh nicht ganz warum Jg eine 2x2 Matrix ist.

21.10.2022, 07:55

Huggy

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Zitat:

Original von maths4u
Aber warum ist Jg eine 2x2 Matrix? Ich leite ja nach der kettenregel ab cosy-rsiny gehören ja zusammen. Kann ich das so getrennt hinschreiben?

Das gehört eben nicht zusammen. Es ist doch $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \mapsto \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Das heißt $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ besteht aus zwei Funktionen $\begin{eqnarray*} g_1=r \cos \varphi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_2=r \sin \varphi \end{eqnarray*}$ . Die Jacobi-Matrix von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist dann per Definition eine 2x2-Matrix, nämlich

$\begin{eqnarray*} Jg=\begin{pmatrix} \frac {\partial g_1} {\partial r} & \frac {\partial g_1} {\partial \varphi} \\ \frac {\partial g_2} {\partial r} & \frac {\partial g_2} {\partial \varphi} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis ist die schon von HAL angegebene 2x2-Matrix. Die Funktionen $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ sind so gestrickt, dass bei den in $\begin{eqnarray*} Jg \end{eqnarray*}$ stehenden partiellen Ableitungen die Kettenregel gar nicht zum tragen kommt.

In deiner neuen Rechnung hast ist die Matrixmultiplikation der 1x2-Matrix mit der 2x2-Matrix nicht korrekt durchgeführt. Schau dir das noch mal an und korrigiere es. Außerdem muss im Endergebnis überall $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ersetzt werden.

22.10.2022, 05:57

maths4u

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Ich versteh ehrlich gesagt nicht, wie ich genau vorgehen muss. Ich hab ja für x rcosy eingesetzt und für y=rsiny. Und hab' dann Jf(g)*Jg gerechnet. Wieso passt das Ergebnis nicht?

22.10.2022, 08:21

Huggy

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Und ich verstehe nicht, weshalb es bei dir hakt. Ich hatte doch schon oben angegeben:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} Jf\cdot Jg=\begin{pmatrix} y e^{x y} & x e^{x y} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \cos \varphi & -r \sin \varphi \\ \sin \varphi & r \cos\varphi \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y e^{x y} \cos \varphi + x e^{x y} \sin \varphi & y e^{x y} (-r \sin \varphi) + x e^{x y}r \cos \varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt vergleiche mal die Faktoren vor den Exponentialtermen mit deinen Angaben! Wenn man jetzt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ einsetzt, auch vor den Exponentialtermen, erhält man:

$\begin{eqnarray*} Jf(g)=\begin{pmatrix} r \sin \varphi e^{r^2 \sin \varphi \cos \varphi} \cos \varphi + r \cos \varphi e^{r^2 \sin \varphi \cos \varphi} \sin \varphi & r \sin \varphi e^{r^2 \sin \varphi \cos \varphi} (-r \sin \varphi) + r \cos \varphi e^{r^2 \sin \varphi \cos \varphi}r \cos \varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Jf(g)=\begin{pmatrix} 2 r \sin \varphi \cos \varphi \, e^{r^2 \sin \varphi \cos \varphi} & r^2 (\cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi)e^{r^2 \sin \varphi \cos \varphi}r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

23.10.2022, 13:13

maths4u

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Achso, du meinst das so. Ich dachte wieder mal viel zu kompliziert...
Ich rechne das ganze mal erneut aus und melde mich hier wieder. Danke Huggy!

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