Quadrat Laplace Operator

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nsvc20 Auf diesen Beitrag antworten »
Quadrat Laplace Operator
Meine Frage:
Hallo

es geht um folgende Rechnung



Ich habe den Laplace Operator für Kugelkoordinaten

wobei ich die Winkelterme weggelassen habe weil die Winkel in der gegebenen e-Funktion nicht vorkommen

Mein Ergebnis wäre



Jetzt gibt es allerdings noch ein anderes Ergebnis und das scheint zu stimmen





Wie löst man diese Aufgabe richtig?




Meine Ideen:
Danke im voraus
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Befragung

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
/* CAS Maxima 
maxima -qb Datei.mac */

Delta(fr, r) := 1/r^2*diff(r^2*diff(fr, r), r)$
DeltaSq(fr, r) := Delta(Delta(fr, r), r)$

ratsimp(DeltaSq(exp(-r/a), r));

liefert

nsvc20 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Ich komme bei der Aufgabe einfach nicht weiter
Zusammen mit

und

soll folgender Zusammenhang gezeigt werden


Zunächst den Laplaceoperator anwenden



Das Ergebnis stimmt

Beim ersten Ausdruck nochmal den Operator anwenden




Man muss jetzt noch integrieren aber die Ergebnisse sind nicht gleich

Ich bekam noch folgenden Hinweis

Bei zweiten Anwenden des Laplace Operators haben Sie übersehen was Delta 1/r ist

Keine Ahnung was das bedeutet

Vielleicht kann ja hier jemand etwas dazu sagen
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Partielle Ableitungen schreibt man in TeX mit \partial, die spitzen Klammern mit \langle, \rangle.

Vermutlich wurde



mit definiert, wobei die Konjugation entfallen darf, sofern die Funktionen reellwertig sind.

Der Definitionsbereich von ist weil bei eine Division durch 0 aufträte. Insofern ist bereits ein undefinierter Term.

Und nun? Betrachten wir mal die zweite partielle Ableitung auf der x-Achse. Mit und verbleibt



Kann man auch an der Stelle 0 auswerten. Alles gut? Nee, nichts ist gut. Die Funktion hat bei 0 einen Knick, weshalb dort bereits die erste Ableitung nicht existiert. Glätten wir also mal den Knick ab. Ersetzen wir gegen Man erhält



Für schießt da ein Puls nach unten. Wichtig ist, welchen signierten Flächeninhalt dieser mit der x-Achse einschließt. Das wirkt sich auf die Integralfunktion aus, die ja die erste Ableitung ist. Der Puls bewirkt, dass der Graph der Integralfunktion kurzweilig schnell hinunterläuft, mithin im Grenzwertfall einen Sprung vollzieht.

Nun kann es doch sein, dass in ebenfalls so ein Puls drin sitzt, der die Berechnung von beeinflusst.
nsvc20 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Finn_
weil bei eine Division durch 0 aufträte. Insofern ist bereits ein undefinierter Term.

Ist das von Bedeutung?

Dadurch dass über ganz R^3 mit Kugelkoordinaten integriert wird kürzt sich das r^2 im Nenner weg


Man sollte ja zeigen,dass hier


und das soll auch irgendwie gehen

aber wenn die Terme nicht definiert sind ist das vielleicht der Grund dafür dass


Trotzdem bekommt man mit das richtige Ergebnis. Das ist sicher
Aber vielleicht Zufall
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja. Gleichermaßen kann bei der eigentlichen Problemstellung die Glättung

mit

betrachtet werden. Auch hier treten Pulse auf, wobei lediglich über die Hälfte des Pulses oder Doppelpulses integriert wird, da der Integrationsbereich nichtnegativ ist. Es kommt nun zu einem entscheidenden Unterschied.

Im Integrand bezüglich entsteht ein Puls beschränkter Tiefe, der aber immer schmaler wird, und somit im Grenzwertfall keinen Flächeninhalt mehr ändert bzw. verschwindet.

Im Integrand bezüglich entsteht ein höher und höher wachsender Puls, dessen Einfluss auf den Flächeninhalt von Bedeutung bleibt, gleichwohl der Puls immer schmaler wird.
 
 
nsvc20 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke soweit

Dann bleibt nur noch das Fazit

Bei dem Beispiel hier gilt
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ein vorschnelles Fazit. Der Puls sorgt gerade dafür, dass



für

Man darf allerdings nicht einfach setzen. Es ist in diesem Fall mit Distributionen zu rechnen. Speziell sind die Begriffe Distribution, Testfunktion, Delta-Distribution und distributionelle Ableitung von Bedeutung. Siehe bspw. die Fäden

Laplacians and Dirac delta functions,
Distribution Derivative

in Mathematics Stack Exchange.
nsvc20 Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal wird der Delta Operator angewendet



dann die 2te Anwendung



Und jetzt muss man wegen dem r im Nenner die Delta Distribution einbauen. Oder?

und dann kommt wahrscheinlich auch das richtige Ergebnis raus

Da bräuchte ich aber nochmal einen Hinweis was ich da genau machen soll
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wir festgestellt haben, darf die Rechnung



als gültig beurteilt werden, da sich die Komplikationen hier als unbedenklich herausstellen.

Bei der Berechnung von sollten wir beachten, worauf hingedeutet wurde.

Mit den Gradienten





erhält man zunächst das Skalarprodukt



Mit der Produktregel



findet sich daraufhin




und somit





Man erhält





Ferner ist festzustellen, dass man bei Vernachlässigung des Pulses auf den Wert kommt.
nsvc20 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank

Wirklich sehr gut gelöst
Hätte ich auch nicht gedacht,dass die Aufgabe so schwierig ist
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