Mittelwerte numerisch berechnen

20.10.2022, 12:42	Marvel	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelwerte numerisch berechnen Meine Frage: Hi Es geht bei der Aufgabe darum mit dem Computer Zufallszahlen von 0 bis 1 zu erzeugen. Das ist die Variable x Dann sollen Mittelwerte von zB y=1/x mit dem Computer berechnet werden Kann man das auch ohne Computer berechnen? Danke schonmal Meine Ideen: Der Mittelwert von x ist 0.5 Aber der Mittelwert von y ist nicht 2 Hatte ich erst gedacht denn 1/0.5=2
20.10.2022, 13:05	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst das harmonische Mittel?
20.10.2022, 13:07	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwerte numerisch berechnen Du berechnest mit $\begin{eqnarray} \overline y = \frac {\frac 1{x_1} + \frac 1{x_2} + \dots + \frac 1{x_n}}n \end{eqnarray}$ hier den Kehrwert des harmonischen Mittels von $\begin{eqnarray} x_1, \dots , x_n \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \frac 1 {\bar x_{\text{harm}}} \end{eqnarray}$ . Das ist in der Tat nicht zu vergleichen mit $\begin{eqnarray} \frac 1 { \bar x_{\text{arithm}}} = \frac n{x_1 + x_2 + \dots + x_n} \end{eqnarray}$ . Das einzige, was man hier sagen kann, ist $\begin{eqnarray} \min(x_1,\dotsc,x_n)\le\bar x_{\text{harm}}\le\bar x_{\text{arithm}}\le\max(x_1,\dotsc,x_n) \end{eqnarray}$ . Und da wir uns zwischen Null und Eins bewegen, gilt somit $\begin{eqnarray} \frac 1 {\min(x_1,\dotsc,x_n)}\ge \frac 1 {\bar x_{\text{harm}}} \ge \frac 1 {\bar x_{\text{arithm}}} \ge \frac 1 {\max(x_1,\dotsc,x_n)} \end{eqnarray}$ Viele Grüße Steffen
20.10.2022, 15:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind $\begin{eqnarray} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray}$ unabhängig identisch verteilt, sowie $\begin{eqnarray} Y_k=g\left(X_k\right) \end{eqnarray}$ , dann konvergiert der Mittelwert $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n Y_k \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ in Wahrscheinlichkeit gegen $\begin{eqnarray} E\left[Y_1\right] \end{eqnarray}$ , sofern dieser Erwartungswert existiert (schwaches GgZ). Gilt sogar $\begin{eqnarray} V\left[Y_1\right] < \infty \end{eqnarray}$ , dann ist diese Konvergenz sogar fast sicher (starkes GgZ). Betrachten wir nun die hier vorliegende stetige Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ für die $\begin{eqnarray} X_k \end{eqnarray}$ : a) Für $\begin{eqnarray} g(t)=t \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} Y_k=X_k \end{eqnarray}$ , sind die Voraussetzungen des starken GgZ erfüllt, denn es ist $\begin{eqnarray} E\left[X_1\right]=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V\left[X_1\right]=\frac{1}{12} \end{eqnarray}$ und damit endlich. Somit haben wir $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n X_k\to \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ fast sicher für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ . b) Für $\begin{eqnarray} g(t)=\frac{1}{t} \end{eqnarray}$ berechnen wir doch mal $\begin{eqnarray} E\left[Y_1\right] = E\left[\frac{1}{X_1}\right] = \int\limits_0^1 \frac{1}{t} ~ \dd t = \infty \end{eqnarray}$ . D.h., dieser Erwartungswert existiert NICHT, d.h., es gilt nicht mal das schwache GgZ, es gibt keine Konvergenz von $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{X_k} \end{eqnarray}$ . Tatsächlich wird mit zunehmenden $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ der entsprechende Stichprobenmittelwert dieser Kehrwerte tendenziell immer mehr ansteigen. Wenn man nur lange genug simuliert (d.h. $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ erhöht), wird man so jede Schranke durchbrechen, und sei sie noch so groß. Generell gilt $\begin{eqnarray} E\left[g\left(X_1\right)\right] \stackrel{?}{=} g\left(E\left[X_1\right]\right) \end{eqnarray}$ i.a. nur für LINEARE Funktionen $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ . Für streng konvexe Funktionen, wie es $\begin{eqnarray} g(t)=\frac{1}{t} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t>0 \end{eqnarray}$ ist, sowie nichtkonstante Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ gilt immerhin die (strenge) Jensensche Ungleichung $\begin{eqnarray} E\left[g\left(X_1\right)\right] > g\left(E\left[X_1\right]\right) \end{eqnarray}$ , was wir oben auch (in extremer Ausprägung) gesehen haben: $\begin{eqnarray} E\left[\frac{1}{X_1}\right] = \infty > 2 = \frac{1}{E\left[X_1\right]} \end{eqnarray}$ . ----------------------------------------------------------------------------------------- Man kann ja abweichend statt Gleichverteilung $\begin{eqnarray} \operatorname{Unif}[0,1] \end{eqnarray}$ mal die "verschobene" Gleichverteilung $\begin{eqnarray} \operatorname{Unif}[1,2] \end{eqnarray}$ betrachten und simulieren. Dann bekommt man $\begin{eqnarray} E\left[X_1\right] = \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} E\left[\frac{1}{X_1}\right] = \ln(2) \end{eqnarray}$ , was etwas größer als der Kehrwert $\begin{eqnarray} \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} E\left[X_1\right] \end{eqnarray}$ ist, was wiederum mit der Jensenschen Ungleichung begründet werden kann. Nur dass diesmal abweichend zu b) auch die Mittelwerte der Kehrwerte konvergieren, und zwar gegen eben jenes $\begin{eqnarray} \ln(2) \end{eqnarray}$ .
20.10.2022, 18:27	Marvel	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die ausführlichen Antworten Durch probieren habe ich das herausgefunden $\begin{eqnarray} E(x^n)=\frac{1}{1+n} \end{eqnarray}$
21.10.2022, 00:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was durch Rechnung bestätigt wird: $\begin{eqnarray} E\left[X^n\right] = \int\limits_0^1 t^n ~ \dd t = \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} \right]_{t=0}^1 = \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ .
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