Orthogonale Menge ist closed

20.10.2022, 21:25	Der_Apfel	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Menge ist closed Die Aufgabenstellung lautet Sei $\begin{eqnarray} (E, \langle \cdot, \cdot \rangle) \end{eqnarray}$ ein inner product space und $\begin{eqnarray} S \subseteq E \end{eqnarray}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray} S^{\perp} \end{eqnarray}$ ein closed linear subspace von $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ ist und das $\begin{eqnarray} S^{\perp} = \overline{S^{\perp}} \end{eqnarray}$ . Wir hatten in der Vorlesung, dass eine Teilmenge A closed ist, wenn $\begin{eqnarray} \overline{A} \subseteq A \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \overline{A} = \{x \| x \in \Omega, \exists (x_n) \subseteq A: x_n \to x\} \end{eqnarray}$ die Closure einer Menge A ist und $\begin{eqnarray} A \subseteq \Omega \end{eqnarray}$ . Mir ist leider nicht so ganz klar, wie ich den Beweis überhaupt anfangen soll da ich mir auch nicht sicher bin, was die praktische Bedeutung eines Closure ist bzw. ich kann mir die mathematische Bedeutung nicht vorstellen.
22.10.2022, 15:03	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonale Menge ist closed $\begin{eqnarray} \bar A \end{eqnarray}$ enthält alle Punkte die man aus $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ durch eine konvergente Folge erreichen kann. Dazu gehören alle Punkte aus A. Der Abschluss eines offenen Intervalls (a,b) ist das abgeschlossene Intervall [a,b]. Für den Beweis kann man zwei Wege gehen Vektorraumeigenschaften von $\begin{eqnarray} S^{\perp} \end{eqnarray}$ zeigen. Dann nimmt man eine konvergente Folge aus $\begin{eqnarray} S^{\perp} \end{eqnarray}$ und zeigt, dass ihr Grenzwert auch in der Menge liegt. Die Stetigkeit des Innenproduktes wird helfen. Alternativ betracht man für $\begin{eqnarray} s\in S^{\perp} \end{eqnarray}$ die Abbildung $\begin{eqnarray} f_s:E\to K, t\mapsto <s,t> \end{eqnarray}$ . Sie ist linear und stetig. Die Kerne dieser Abbildungen liefern $\begin{eqnarray} S^{\perp} \end{eqnarray}$
22.10.2022, 18:56	Der_Apfel	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich eine Folge $\begin{eqnarray} y_n \in S^\perp \end{eqnarray}$ nehme für die gilt $\begin{eqnarray} y_n \to y \end{eqnarray}$ dann muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} y \in S^\perp \end{eqnarray}$ ?
22.10.2022, 21:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es

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