Zeige: s ist keine obere Schranke

21.10.2022, 21:50

Luna456

Zeige: s ist keine obere Schranke

Meine Frage:
Aufgabe:

Sei A = {x in Q | x² < 2}. Zeigen Sie, ist s²<2, dann ist s keine obere Schranke von A.

Meine Ideen:

Problem/Ansatz:
Ich weiß, dass ein s+µ in A mit µ>0 existieren muss. Mein Ansatz wäre jetzt (s+µ)² < 2 <=> s²+2sµ+µ²

Aufgelöst bis µ < (2-s²)/(2s+µ).

Nun weiß ich nicht weiter.

Kann mir jemand weiter helfen?

22.10.2022, 01:01

Finn_

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Findest du die folgende Argumentation überzeugend?

Es genügt, $\begin{eqnarray*} (s+\mu)^2\le 2 \end{eqnarray*}$ zu zeigen, macht aber keinen wesentlichen Unterschied. Man muss also ein $\begin{eqnarray*} \mu>0 \end{eqnarray*}$ finden können, das die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \mu(\mu+2s) \le 2-s^2 \end{eqnarray*}$

erfüllt. Laut Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} 2-s^2 \end{eqnarray*}$ eine positive Zahl. Es ist $\begin{eqnarray*} f(\mu):=\mu(\mu+2s) \end{eqnarray*}$ für festes $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ eine Polynomfunktion mit Nullstelle 0, die somit beliebig kleine Beträge annehmen kann, mithin $\begin{eqnarray*} 2-s^2 \end{eqnarray*}$ unterbieten kann.

22.10.2022, 15:22

Conny_1729

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RE: Zeige, s ist keine obere Schranke.

Zitat:

Original von Luna456
Meine Frage:
Aufgabe:

Sei A = {x in Q | x² < 2}. Zeigen Sie, ist s²<2, dann ist s keine obere Schranke von A.
...

Was ist eigentlich, wenn ...
$\begin{eqnarray*} <br /> x\in \mathbb Q<br /> s\in \mathbb R<br /> \end{eqnarray*}$
???

Dann wäre doch das größte x²<2 und s²<2, jedoch kann s als Element der reellen Zahlen die Lücke zwischen x² und 2 schließen. Es steht ja nicht geschrieben, dass s unbedingt auch ein Element von A sein muss. - Oder muss die "obere Schranke" auf jeden Fall ein Element in A sein?

Gruß
Conny.

22.10.2022, 15:50

Elvis

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Das geht nicht, denn es steht geschrieben, dass die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen. Augenzwinkern

22.10.2022, 20:37

Conny_1729

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Zitat:

Original von Elvis
Das geht nicht, denn es steht geschrieben, dass die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen. Augenzwinkern

Aaah, dann denke ich, dass ich die Schreibweise nun verstanden habe. Obwohl x eine rationale Zahl ist, also x²=2 kein Element von A ist, so ist dennoch x² unendlich dicht an 2 dran. Und s, auch wenn es sich um eine reelle Zahl handeln könnte, ist wegen s²<2 dann kleiner als x², also s²<x².

Danke Elvis, für den Tipp mit der Dichtheit von Q in R !!!

Gruß
Conny.

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