Gruppentheorie: a in G mit Ordnung 2 im Zentrum von G? |
| 22.10.2022, 20:22 | elko2 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Gruppentheorie: a in G mit Ordnung 2 im Zentrum von G? Hallo, Ich beiße mir gerade an folgender Aufgabe die Zähne aus: Sei G eine Gruppe mit genau einem Element a der Ordnung 2. Zeige, dass a im Zentrum von G liegt. Meine Ideen: Meine Idee ist jetzt folgende: a mit der Ordnung 2 bildet die Untergruppe U=<a> mit den Elementen {e_G,a}. Nun ist zu zeigen, dass $\forall g \in G: gUg^{-1} \in U$ gilt. Da dies für e_G trivialerweise zutrifft, ist es nur noch für a zu zeigen. Wenn es nicht so wäre, dann gäbe es $b,g \in G: b=gag^{-1}$. Dann wäre b zu a konjugiert. ... Und jetzt kommt der Teil wo ich mir unsicher bin: kann man jetzt argumentieren, dass dann b unter dieser Konjugation ebenfalls in eine Untergruppe der Ordnung 2 fallen würde, und dass dies nicht möglich ist weil es ja nur eine solche Untergruppe gibt? Oder ist das der völlig falsche Ansatz? Ansonsten hab ich leider grad keinen... |
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| 22.10.2022, 23:41 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Für jedes Element ist zu zeigen. Untersuche, welche Ordnung besitzt, und beachte, daß gemäß Aufgabe das einzige Element der Ordnung 2 ist. |
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| 23.10.2022, 11:12 | elko2 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das war der entscheidende Hinweis, vielen Dank 
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