Definition Körpererweiterung

23.10.2022, 13:04

Elila1

Definition Körpererweiterung

Meine Frage:
Sei k ? K eine Körpererweiterung, das heißt, der Körper k ist ein Teilkörper
des Oberkörpers K. Gegeben eine Teilmenge A ? K, so ist der von A über k erzeugte Teilring
k[A] = \bigcap\limits_{k\cup A\subset R\subset K}R = \{P(a_{1},...,a_{n})|P(T_{1},...,T_{n})\in k[T_{1},...,T_{n}], a_{1},...,a_{n}\in A\}.
Weiter sei der von A über k erzeugte Teilkörper
k(A) = \bigcap\limits_{k\cup A\subset L\subset K}L = \{\frac{P(a_{1},...,a_{n})}{Q(a_{1},...,a_{n})}|P(a_{1},...,a_{n}), 0_{K}\neq Q(a_{1},...,a_{n})\in k[A]\}

Meine Ideen:
Kann mir jemand diese Definition erklären. Den ersten Satz versteh ich, aber k[A] und k(A) versteh ich dann nicht mehr. Wie ich verstehe ist k(A) rationale Funktionen und k[A] auch Polynome. Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand die erklären könnte anhand eines Beispiels.

23.10.2022, 14:42

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RE: Definition Körpererweiterung
$\begin{eqnarray*} \bigcap\limits_{k\cup A\subset R\subset K}R \end{eqnarray*}$ meint den Durchschnitt über alle Ringe, die zwischen $\begin{eqnarray*} k\cup A\ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ liegen.
Diese Menge bekommt kann man eben auch, wenn man in alle möglichen Polynome mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Elemente aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ einsetzt. Der erzeugte Teilring besteht also nicht aus Polynomen sondern aus deren Werten.
Analog verhält es sich beim erzeugten Teilkörper.

Du kannst das ganze für den Fall $\begin{eqnarray*} k=\mathbb Q, K=\mathbb Q [ \sqrt[4]{2}], A=\{\sqrt 2\} \end{eqnarray*}$ durchrechnen.
Egal wie das Polynom mit rationalen Koeffizienten aussieht, wenn du $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ einsetzt kommt etwas von der Form $\begin{eqnarray*} q_1+q_2\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ heraus.

23.10.2022, 19:37

Elila1

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RE: Definition Körpererweiterung
Danke. Also sind k[A] und k(A) Mengen, die man rausbekommt, in dem man in beliebige Polynome ein Wert aus A einsetzt und den Wert rausbekommt.
Ich habe noch eine Frage, warum ist in k[A] zwei Polynome, also einmal $\begin{eqnarray*} P(a_{1},...,a_{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(T_{1},...,T_{n}) \end{eqnarray*}$

23.10.2022, 21:22

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RE: Definition Körpererweiterung

Zitat:

warum ist in k[A] zwei Polynome

Da sind keine zwei Polynome in der Definition

$\begin{eqnarray*} \{P(a_{1},...,a_{n})|P(T_{1},...,T_{n})\in k[T_{1},...,T_{n}], a_{1},...,a_{n}\in A\}. \end{eqnarray*}$
In Worten: Die Menge aller Werte der Form $\begin{eqnarray*} P(a_{1},...,a_{n}) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} P(T_{1},...,T_{n})\in k[T_{1},...,T_{n}] \end{eqnarray*}$ also ein Polynom mit Koeffizienten in k und mehreren Variablen, und $\begin{eqnarray*} a_{1},...,a_{n} \end{eqnarray*}$ Elemente aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sind

Zitat:

in beliebige Polynome ein Wert aus A einsetzt

nicht einen Wert aus A sondern alle möglichen Werte aus A.

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