Implizites Differenzieren

23.10.2022, 13:11

maths4u

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Implizites Differenzieren

Hallo alle zusammen!

Es handelt sich um die folgende Aufgabe (siehe Anhang). Ich habe die Aufgabe im großen und ganzen verstanden, aber beim Lösen des Gleichungssystem einer Matrix bin ich stecken geblieben. Könnt ihr mir erklären wie ich hier genau vorgehen soll bzw. wie ich u' und v' bestimmen soll?

24.10.2022, 00:00

mYthos

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Was zu hinterfragen wäre, ist, weshalb bei dir nirgends die Ableitung von y nach x, also 2y' im Spiel ist.
Denn bei der impliziten Ableitung der Gleichungen nach x ist ja auch y beteiligt.
Das zugehörige System (nach Substitution durch die z-Werte) müsste demnach lauten:

$\begin{eqnarray*} z_1 - 2z_2 = -2 + 2y' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2z_1 + z_2 = 2 - 2y' \end{eqnarray*}$
-----------------------------

Edit: Tatsächlich ist y' = 0, weil x, y unabhängige Variable sind, sh. nachfolgender Post von Huggy

Daraus könnte dann durch Addition gefolgert werden: $\begin{eqnarray*} z_1 = -z_2 \end{eqnarray*}$ , wie es auch weiter unten der Fall ist.
-----------

Abgesehen davon wäre dein System (deren Koeffizienten stimmen) auch konventionell (ohne Matrizen) leicht zu lösen:

$\begin{eqnarray*} z_1 - 2z_2 = -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2z_1 + z_2 = 2 \end{eqnarray*}$
-----------------------
$\begin{eqnarray*} 2z_1 - 4z_2 = -4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2z_1 + z_2 = 2 \end{eqnarray*}$
-----------------------
$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac 2 3; \ z_1 = -\frac 2 3 \end{eqnarray*}$

mY+

24.10.2022, 08:11

maths4u

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Danke für deine Antwort Mythos!
Und ja du hast recht, die Ableitung von y fehlt hier. Ich hab‘s jetzt mal ausgebessert.
Aber was ich nicht verstehe: was sind jetzt z2 und z1? Also wie bestimme ich u' und v'?

Hier noch die Ableitung von y:

24.10.2022, 08:31

Huggy

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Zitat:

Original von mYthos
Was zu hinterfragen wäre, ist, weshalb bei dir nirgends die Ableitung von y nach x, also 2y' im Spiel ist.
Denn bei der impliziten Ableitung der Gleichungen nach x ist ja auch y beteiligt.

Die Aufgabe ist doch so zu verstehen, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ unabhängige Variablen sind. Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist also Null.

24.10.2022, 10:05

maths4u

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Aber was ist u' und v' ?

24.10.2022, 10:19

Huggy

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$\begin{eqnarray*} u' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v' \end{eqnarray*}$ ist wohl im Sinne der Jacobi-Matirx gemeint, also

$\begin{eqnarray*} u'=Ju=(\frac {\partial u}{\partial x} \quad \frac {\partial u}{\partial y}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'=Jv=(\frac {\partial v}{\partial x} \quad \frac {\partial v}{\partial y}) \end{eqnarray*}$

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24.10.2022, 10:26

HAL 9000

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Oder es ist Gradient gemeint - was an den Werten selbst nichts ändert, nur die (sicher nicht kriegsentscheidende) Frage aufwirft, ob man das Resultat als Zeilen- oder Spaltenvektor schreibt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.10.2022, 10:38

maths4u

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Ja, ich glaube auch dass damit die jacobi matrix gemeint ist.
Aber für u‘(x,y) und v‘(x,y) muss doch eine Zahl rauskommen, also wie z.b x‘(z)=0 oder y‘(z)=-1. Was muss ich hier in diesem fall angeben?

24.10.2022, 10:43

Huggy

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Nein, es kommt keine Zahl heraus, sondern ein Zahlenpaar. Bisher hast du nur die partiellen Ableitungen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ betrachtet. Die analoge Rechnung ist für die partiellen Ableitungen nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ zu machen.

24.10.2022, 10:52

maths4u

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Ich hab ja die partielle Ableitung von y gemacht, die Rechnung habe ich oben hochgeladen.
Oder ist die obige Rechnung noch nicht vollständig?

Also das ist die obige rechnung:

24.10.2022, 10:59

Huggy

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Ich hatte nicht darauf geachtet, dass deine Antwort zu Mythos die Rechnung für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ enthält. Zusammen mit der Rechnung für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hast du dann doch die beiden Zahlenpaare $\begin{eqnarray*} u'(-1,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'(-1,1) \end{eqnarray*}$ . Die Rechnung selbst habe ich nicht geprüft

24.10.2022, 11:08

HAL 9000

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Zur Überprüfung kann man das Gleichungssystem hier tatsächlich auch explizit lösen: Man kommt ziemlich rasch zu $\begin{eqnarray*} u^3 = -v^3 = x^2y^2 \end{eqnarray*}$ und damit rasch zu

$\begin{eqnarray*} 3u^2 \nabla u = -3v^2\nabla v = 2xy \begin{pmatrix} y\\ x\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Kann man ja als Kontrolle der Ergebnisse nutzen.

24.10.2022, 17:21

mYthos

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Zitat:

Original von Huggy
...
Die Aufgabe ist doch so zu verstehen, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ unabhängige Variablen sind. Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist also Null.

Ja, das ist mir mittlerweile auch eingegangen Big Laugh

Big Laugh

, danke.

mY+

24.10.2022, 21:35

maths4u

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Aber was ist u' und v' (-1 1) ? Wie lauten die Werte? Das versteh' ich noch nicht.
Ich hab ja die Ableitungen gemacht, aber was genau soll ich für v' und u' einsetzen?

Und was sind eigentlich z1 und z2? Wozu haben wir die berechnet? Ich komme momentan nicht ganz mit.

24.10.2022, 22:26

mYthos

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Weshalb fragst du, was jeweils z1 und z2 ist? Du hast doch die Substitution selbst eingeführt, sie steht für die partiellen Ableitungen von u, v jeweils nach x und y.
Natürlich sollst du diese nach x und y getrennt berechnen.
Deine Rechnung nun für y dürfte stimmen, fast gleiche Ergebnisse sind es infolge der Symmetrie in der Angabe auch für x, nur mit vertauschten Vorzeichen.

Wenn deine Bezeichnungen beibehalten werden, ist daher - nach Einsetzen der Zahlenwerte -

u'T = (-2/3; 2/3) und v'T (2/3; -2/3) [T bedeutet Spaltenvektor]

(wenn ich zu Hause bin, schreibe ich's in LaTex, am Handy ist es mühsam)

Nochmals: Als Ergebnis kommen NICHT einzelne Zahlen, sondern Zahlenpaare (!), also Gradientenvektoren, weil es 2 Richtungen gibt, nämlich x und y

Mache also nochmals dahingehend deine Überlegungen. Falls es für dich noch immer unklar ist, frage bitte nach.

mY+

24.10.2022, 23:06

maths4u

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Okay, vielen Dank Mythos!
Also dann sieht’s so aus? Habe ich das jetzt richtig verstanden?

24.10.2022, 23:16

mYthos

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So ist es

smile

Es sieht so aus, dass du das jetzt verstanden hast Big Laugh

Big Laugh

mY+

24.10.2022, 23:53

maths4u

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Endlich

smile

Vielen vielen Dank für deine Hilfe und Geduld Mythos!
Auch danke an Huggy und HAL 9000 für die Erklärung.

Aber ich muss noch weiter üben, damit ich sattelfest bin. Falls ich wieder nicht weiterkomme, melde ich mich erneut. Nochmals danke!

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