Landau-Symbole

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24.10.2022, 20:35	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Landau-Symbole Hallo liebes Matheboard, der Einfachheithalber hab ich die Aufgabe mal angehängt. bei der b) hab ich relativ schnell ein Gegenbeispiel gefunden, aber bei der a) häng ich fest... finde ich vielleicht kein Gegenbeispiel, weil die Aussage stimmt? aber wie beweisen? Gruß eure HiBee
24.10.2022, 20:39	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Landau-Symbole für e) hab ich auch ein Gegenbeispiel.
24.10.2022, 20:54	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Landau-Symbole $\begin{eqnarray} c_1\|x^2\|=c_1\|x\|\|x\| \end{eqnarray}$
24.10.2022, 20:58	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Landau-Symbole Das heißt a) gilt also wirklich? weil ich mir für jedes c_1 eine Umgebung basteln kann, solange ich x klein genug wähle?
24.10.2022, 21:00	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Landau-Symbole Du musst für jedes $\begin{eqnarray} c_2 \end{eqnarray}$ eine Umgebung finden Ja, die Aussage ist richtig.
24.10.2022, 21:03	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Landau-Symbole Ist auch richtig, dass die b) falsch ist? ich habe als Gegenbeispiel x^2<=5x^2 aber für x<0,2 existiert keine Umgebung, so dass x^2<=0,2 x^2 korrekt?
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24.10.2022, 21:12	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Landau-Symbole Wie soll denn überhaupt $\begin{eqnarray} x^2\leq 0,2x^2 \end{eqnarray}$ gelten? Du solltest die Sache ganz formal aufschreiben. Was ist dein f? Was ist dein $\begin{eqnarray} c_1 \end{eqnarray}$ ? Welche Umgebung gehört dazu? Die Aussage von Teil b) ist tatsächlich falsch
24.10.2022, 21:17	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Landau-Symbole ja eben, ich meinte ja dass es nicht gilt. als f(x) wähle ich x^2. dann findet sich für c_1=5 eine Umgebung um 0 so dass f(x)<=5x^2 ist. Wenn iich allerdings c_2=0,2 gegeben hat, findet sich KEINE Umgebung um 0, so dass f(x)<=0,2x^2 ist. Widerspruch. und bei e) hab ich die Funktion g(x) identisch 0 gewählt und h(x)=x^3, dann ist die Differenz sicherlich nicht die 0 Funktion. und bei den restlichen Aufgaben bin ich etwas Planlos... Kannst du mir vielleicht einen Tipp geben?
24.10.2022, 21:25	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Landau-Symbole Jetzt passt b) deine Bedingung x<0,2 ließ mich vermuten, du hättest die Sache nicht verstanden. e) passt auch. c) ist richtig, d) und f) sind falsch
24.10.2022, 21:48	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Landau-Symbole Ach schön Ich glaube ich hab jetzt auch ein Gegenbeispiel zur f) gefunden. Man wählt g(x)=x^3 und h(x)=x^4 dann haben beide Funktionen O(x^3) für x in einer Umgebung der 0, aber g(x)/h(x)=1/x und das lässt sich durch kein c beschränken, also ist insbesondere nicht O(1).
24.10.2022, 21:50	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Landau-Symbole
24.10.2022, 22:02	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Landau-Symbole Für die d) hab ich jetzt auch eins gefunden! ich wähle f(x)=x^2 und g(x)=0 dann ist sicherlich f(x)=O(x^2) und g(x)=O(x^3) abger f(x)+g(x)=x^2 und somit nicht O(x^2) , da sich für x^2<=c * x^3 immer x nahe null finden lässt, so dass 1/x>c ist und somit nicht alle Elemente in einer Umgebung um die Null diese Ungleichung erfüllen.
24.10.2022, 22:13	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Landau-Symbole Passt!
24.10.2022, 22:15	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Landau-Symbole und für die c) würde ich mal so ansetzen: f(x)<=c_1\|x^2\| g(x)<=c_1'\|x^3\| also f(x)g(x)<=c_1\|x^2\|c_1'\|x^3\|=c_1c_1' \|x^5\|=c_1''*\|x^5\| oder?
24.10.2022, 22:19	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Landau-Symbole Die einfachste zum Schluss auch noch erledigt
24.10.2022, 22:21	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Landau-Symbole Super! danke dir!
24.10.2022, 22:27	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Landau-Symbole Ich habe ja praktisch nichts gemacht

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