Spektralnorm

24.10.2022, 22:44

HiBee123

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Spektralnorm

Hallo Matheboard,

ich hab wieder eine wundervolle Aufgabe.
bei a) hab ich den Tipp bekommen, das Skalarprodukt zu benutzen,
ich weiß aber nicht wie genau ich das machen soll.
also wir haben ja nach definition $\begin{eqnarray*} ||A||=sup_{||x=1|}||Ax|| \end{eqnarray*}$ und darauf das Skalarprodukt, dann $\begin{eqnarray*} ||A||=sup_{||x=1|}||Ax||=sup_{||x=1|}<Ax,Ax> \end{eqnarray*}$ dann kann ich das A rausziehen? wegen der Linearität $\begin{eqnarray*} sup_{||x=1|}A \cdot A^t<x,x> \end{eqnarray*}$ und wie hilft das jetzt weiter? Hat da jemand einen Rat?

Gruß,
eure HiBee.

25.10.2022, 09:25

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RE: Spektralnorm
Dieses Herausziehen geht nicht. Das sieht man schon daran, dass $\begin{eqnarray*} sup_{||x=1|}A \cdot A^t<x,x> \end{eqnarray*}$ eine Matrix und keine Zahl ist.
Ich würde von den orthogonalen Eigenvektoren gleich zur Orthonormalbasis $\begin{eqnarray*} b_1,\ldots ,b_n \end{eqnarray*}$ übergehen und sie in $\begin{eqnarray*} \|Ax\|_2^2=<x,A^TAx> \end{eqnarray*}$ verwenden.

25.10.2022, 10:35

HiBee123

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RE: Spektralnorm
Zu dieser Orthonormalbasis: ich hab ja gegeben, dass A^tA symetrisch ist und somit n Eigenwerte hat. ABER das heißt doch noch nicht, dass ich auch eine Basis aus diesen Eigenvektoren bilden kann, oder? Ein Eigenwert könnte mehrfach auftreten. Wie umgehe ich dieses Problem geschickt?

25.10.2022, 11:44

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RE: Spektralnorm
Eine symmetrische Matrix ist diagonalisierbar, also gibt es eine Basis aus Eigenvektoren.
Die Aufgabe spricht auch explizit von n orthogonale Eigenvektoren.

25.10.2022, 19:04

HiBee123

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RE: Spektralnorm
ach prima.

und jetzt hab ich <b_i,\lambda_i> und daraus die Wurzel, müsste der Betrag von lambda_i sein. Und damit bin ich dann auch schon fertig, wenn ich jetzt diesen Wert über meiner Basis maximiere.

25.10.2022, 20:07

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RE: Spektralnorm
Ich habe keine Ahnung, was du mir damit sagen willst. $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ müssten Vektoren sein, aber welche sollen das sein?

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25.10.2022, 20:20

HiBee123

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RE: Spektralnorm
Also ich habe ja <x,A^t*Ax> jetzt setze ich für x einen meiner Eigenvektoren ein, b_i
$\begin{eqnarray*} <b_i,A^tAb_i>=<b_i,\lambda_ib_i>=|\lambda_i|<b_i,b_i> =|\lambda_i| \end{eqnarray*}$ und jetzt wähle ich das Maximum über alle b_i und dass ist dann genau das Maximum aller \lambda_i

25.10.2022, 20:39

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RE: Spektralnorm

Zitat:

Also ich habe ja <x,A^t*Ax> jetzt setze ich für x einen meiner Eigenvektoren ein, b_i

und woher weißt du, dass du damit das Supremum über alle $\begin{eqnarray*} \|x\|=1 \end{eqnarray*}$ erreichst? Könnte doch sein, dass es dafür eine Linearkombination mehrerer Basisvektoren braucht

26.10.2022, 12:50

HiBee123

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RE: Spektralnorm
Ich glaube das hängt irgendwie damit zusammen dass die b_i orthogonal sind, also das Skalarprodukt zweier verschiedener b_i immer null... aber ich bin selber etwas irritiert...

26.10.2022, 13:55

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RE: Spektralnorm
Deine Irritation löst sich vermutlich, wenn du $\begin{eqnarray*} x=\sum\langle x,b_i\rangle b_i \end{eqnarray*}$ an der richtigen Stelle in
$\begin{eqnarray*} \|Ax\|_2^2=<x,A^TAx> \end{eqnarray*}$ einsetzt.

26.10.2022, 15:00

HiBee123

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RE: Spektralnorm
Ja so funktionierts.
$\begin{eqnarray*} <\sum\limits_{k=1}^{n} <x,b_i>b_i, A^tA\sum\limits_{k=1}^{n} <x,b_i>b_i>= <<b_i,b_i>b_i,A^tA<b_i,b_i>b_i>=<b_i,\lambda_ib_i>=|\lambda_i| \end{eqnarray*}$

26.10.2022, 17:04

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RE: Spektralnorm
Ja, aber ganz sicher nicht so, wie du es gemacht hast.
Du berechnest $\begin{eqnarray*} \|Ax\|^2 \end{eqnarray*}$ und dein Ergebnis hängt nicht mehr von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ab dafür aber von einem ominösen $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , das sein Leben mal als Summationsindex begonnen hat.

28.10.2022, 19:26

HiBee123

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RE: Spektralnorm
nächster Versuch

$\begin{eqnarray*} <\sum\limits_{k=1}^{n} <x,b_i>b_i, A^tA\sum\limits_{k=1}^{n} <x,b_i>b_i><br /> =<\sum\limits_{k=1}^{n} <x,b_i>b_i, \sum\limits_{k=1}^{n} <x,b_i>\lambda_ib_i>=<br /> \sum\limits_{k=1}^{n} <x,b_i>^2\lambda_i \end{eqnarray*}$

soweit ok?

28.10.2022, 20:15

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RE: Spektralnorm
Freude

Freude

Abgesehen vom handwerklichen Fehler, dass dein Laufindex k in den Summanden nicht auftaucht, naturlich smile

smile

28.10.2022, 20:36

HiBee123

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RE: Spektralnorm
und kann ich jetzt sagen, dass es das Maximum über alle \lambda_i sein muss, da für x=b_j das Skalarprodukt immer 0 ist, wenn b_i!=b_j und wir über x maximieren?

28.10.2022, 21:07

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RE: Spektralnorm
Das finde ich allzu vage. Die letzte Summe kann man doch direkt abschätzen durch $\begin{eqnarray*} \max_i\lambda_i \sum\langle x,b_k\rangle^2=\max_i\lambda_i \end{eqnarray*}$ .
Gleichheit in der Aschätzung gilt, wenn x ein Eigenvektor zum größten Eigenwert ist.

28.10.2022, 21:32

HiBee123

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RE: Spektralnorm
Ja so in etwa hatte ich das gemeint. Ich muss wirklich lernen mich präziser auszudrücken. Danke dir!

29.10.2022, 10:18

IfindU

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RE: Spektralnorm

Zitat:

Original von HiBee123
nächster Versuch

$\begin{eqnarray*} <\sum\limits_{k=1}^{n} <x,b_i>b_i, A^tA\sum\limits_{k=1}^{n} <x,b_i>b_i><br /> =<\sum\limits_{k=1}^{n} <x,b_i>b_i, \sum\limits_{k=1}^{n} <x,b_i>\lambda_ib_i>=<br /> \sum\limits_{k=1}^{n} <x,b_i>^2\lambda_i \end{eqnarray*}$

soweit ok?

Eine Anmerkung von mir: technisch korrekt, aber man tut sich keinen Gefallen damit die Summationsindizes im linken und rechten Faktor gleich zu benennen. Erfahrungsgemäß tun das Personen, welche sie auseinander halten können, nicht und machen sie das Leben einfacher---während Personen, welche sie durcheinander bringen gleich nennen und damit in Teufelsküche kommen.

Startet man mit
$\begin{eqnarray*} \left\langle\sum\limits_{i=1}^{n} \langle x,b_i \rangle b_i, A^tA\sum\limits_{j=1}^{n} \langle x,b_j \rangle b_j\right\rangle \end{eqnarray*}$
so sind die nächsten Schritte offensichtlicher und weniger verwirrend:
$\begin{eqnarray*} \left\langle\sum\limits_{i=1}^{n} \langle x,b_i \rangle b_i, A^tA\sum\limits_{j=1}^{n} \langle x,b_j \rangle b_j\right\rangle = \left\langle\sum\limits_{i=1}^{n} \langle x,b_i \rangle b_i, \sum\limits_{j=1}^{n} \langle x,b_j \rangle \lambda_j b_j\right\rangle = \sum\limits_{i=1}^{n} \langle x,b_i \rangle \sum\limits_{j=1}^{n} \langle x,b_j \rangle \lambda_j \left\langle b_i, b_j\right\rangle \end{eqnarray*}$
Im ersten Schritt hat man die Eigenvektor-Eigenschaft genutzt, und im zweiten Linearität in beiden Argumenten. Jetzt kann $\begin{eqnarray*} \langle b_i, b_j\rangle = \delta_{ij} \end{eqnarray*}$ nutzen, um zum finalen Ergebnis zu kommen.

Wenn man das gleiche stumpf ohne eine formale Unterscheidung der Summationsindizes macht, bekommt man
$\begin{eqnarray*} \left\langle\sum\limits_{i=1}^{n} \langle x,b_i \rangle b_i, \sum\limits_{i=1}^{n} \langle x,b_j \rangle \lambda_i b_i\right\rangle = \sum\limits_{i=1}^{n} \langle x,b_i \rangle \sum\limits_{i=1}^{n} \langle x,b_i \rangle \lambda_i \left\langle b_i, b_i\right\rangle \end{eqnarray*}$
Hier ist es fast hoffnungslos auseinander zu halten welcher Index $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ tatsächlich zu einer Summe gehört.

29.10.2022, 11:00

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RE: Spektralnorm
Ein guter Ratschlag, den man unbedingt beherzigen sollte.
Hier kann man das ganze vollständig umgehen, weil der Ansatz $\begin{eqnarray*} \left\langle x, A^tA\sum\limits_{j=1}^{n} \langle x,b_j \rangle b_j\right\rangle \end{eqnarray*}$ mit nur einer Summe auch reicht smile

smile

29.10.2022, 12:17

HiBee123

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Viele Dank für den Tipp Wink

Wink

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