Wann sind partiell stetige Funktionen stetig?

25.10.2022, 00:46	25_10_22_00_46	Auf diesen Beitrag antworten »
Wann sind partiell stetige Funktionen stetig? Meine Frage: Sei f: XxY -> R , X,Y Teilmengen von R ; R: Menge der reellen Zahlen, f partiell stetig in beiden Koordinaten. Bekanntlich kann man unter diesen Voraussetzungen nicht folgern, dass f stetig ist (siehe Gegenbeispiel bei den Ideen) Meine Frage: Unter welchen weiteren Voraussetzungen kann man nun doch folgern, dass f stetig ist? Meine Ideen: Sei f: RxR -> R f(x,y) := 0 für (x,y) = (0,0) f(x,y) := xy / ( x2 + y2) für (x,y) ungleich (0,0) f ist partiell stetig in beiden Koordinaten, aber nicht stetig.
25.10.2022, 09:14	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, Summe/Differenz/Produkt stetiger Funktionen sind wieder stetig. Und auch der Quotient an Stellen, wo der Divisor ungleich Null ist. Das bedeutet etwa im Fall deiner angegebenen Beispielfunktion, dass sie stetig ist außer im Nullpunkt, weil $\begin{eqnarray} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray}$ der einzige Punkt mit $\begin{eqnarray} x^2+y^2=0 \end{eqnarray}$ ist. Das bedeutet, dass lediglich noch der Nullpunkt hinsichtlich Stetigkeit zu untersuchen ist. Tja, und in diesem Punkt erweist sich die Funktion aber eben als unstetig. In anderen, auf den ersten Blick ähnlich strukturierten, aber doch stetigen Funktionen muss man eben an den problematischen Stellen geeignete Abschätzungen treffen. Wenn da z.B. $\begin{eqnarray} g(x,y) = \frac{x^2y}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x,y)\neq (0,0) \end{eqnarray}$ stände, so könnte man abschätzen $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{x^2+y^2}\leq \frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}\leq 1 \end{eqnarray}$ und damit dann $\begin{eqnarray} \left\| g(x,y) \right\| \leq \|y\|\to 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x,y)\to 0 \end{eqnarray}$ . Allgemeingültige einfache Rezepte für solche Abschätzungen gibt es nicht. Man kann versuchen, einige der gängigen Prinzipien zusammenzustellen und wird dann doch immer wieder Beispiele finden, wo auch das nicht ausreicht.
25.10.2022, 21:18	hilbert23	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wann sind partiell stetige Funktionen stetig? Hallo, es gilt folgendes: Sei f : [a,b]x[c,d] -> R Dann sind folgende beiden Aussagen äquivalent: (i) f stetig (ii) f gleichstetig in beiden Variablen Einen Beweis dieser Äquivalenz findet man bspw. in: Lehrbuch der Analysis 2, H.Heuser, 131.1 Satz Definition von Gleichstetigkeit: f gleichstetig in der 1. Variablen :<=> Zu jedem eps > 0 existiert delta > 0 so dass für alle y aus [c,d] und für alle x1, x2 aus [a,b] mit \|x1-x2\| < delta gilt: \|f(x1,y) - f(x2,y)\| < eps Nun gilt trivialerweise: Jede in beiden Variablen gleichstetige Funktion ist partiell stetig. Geht man also zu kompakten Intervallen über und verschärft die partielle Stetigkeit zu Gleichstetigkeit in beiden Variablen erhält man eine neue Charakterisierung von Stetigkeit der Funktion f.

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