Implizites Differenzieren

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25.10.2022, 00:47	maths4u	Auf diesen Beitrag antworten »
Implizites Differenzieren Hallo alle! Ich habe weitere Aufgaben zu Funktionssystemen gelöst. Könnte jemand einen Blick werfen und mir eine Rückmeldung geben, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe? Ich wäre wirklich sehr dankbar.
25.10.2022, 11:22	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Implizites Differenzieren Die Rechnung sieht richtig aus. Aber sie basiert auf der Annahme, dass durch das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} uv^2-x^2y^2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u^2v+x^2y^2=0 \end{eqnarray}$ implizit Funktionen $\begin{eqnarray} (x(u,v),y(u,v)) \end{eqnarray}$ definiert sind. Das ist aber nicht der Fall. In dem Gleichungssystem tauchen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ nur in der Kombination $\begin{eqnarray} x^2y^2 \end{eqnarray}$ auf. Also ist auch nur dieser Term bestimmbar, nicht aber $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ separat. Speziell in dem Punkt $\begin{eqnarray} (u,v)=(1,-1) \end{eqnarray}$ ergibt sich nur $\begin{eqnarray} x^2y^2=1 \end{eqnarray}$ . Da die Funktionen $\begin{eqnarray} (x(u,v),y(u,v)) \end{eqnarray}$ gar nicht definiert sind, sind auch ihre Ableitungen nicht definiert. Bei der vorigen Aufgabe war das anders. Das Gleichungssystem lässt sich im Reellen in dem zu betrachtenden Punkt eindeutig nach $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ auflösen.
25.10.2022, 13:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab die Rechnung nicht überprüft, aber da wie von Huggy eben erwähnt $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ nur in Kombination $\begin{eqnarray} x^2y^2 \end{eqnarray}$ vorkommen, sollte sich das doch an irgend einer Stelle der Rechnung in singulären Matrizen der Bestimmungsgleichungen äußern - oder erliege ich da einem Fehlschluss?
25.10.2022, 14:03	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt. Ich habe jetzt einen Vorzeichenfehler bei maths4u entdeckt.
25.10.2022, 18:59	maths4u	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die ganzen Erklärungen! Aber wo genau ist ein Vorzeichenfehler? Ich erkenne den Fehler leider nicht.
25.10.2022, 21:32	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei deiner Rechnung zu Gleichung I ist aus $\begin{eqnarray} -(-1)^2\cdot 2 \cdot 1 \cdot y_u \end{eqnarray}$ plötzlich $\begin{eqnarray} +1 \cdot 2 \cdot y_u \end{eqnarray}$ geworden.
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26.10.2022, 20:30	maths4u	Auf diesen Beitrag antworten »
Huggy, ich finde den Fehler immer noch nicht... Außerdem habe ich die Aufgabe immer noch nicht ganz gecheckt. Was genau muss ich ändern?
27.10.2022, 08:29	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm dein Blatt im Hochformat und betrachte dort die Zeilen, vor denen I steht. Nimm die die dritte dieser Zeilen. Die ist noch korrekt. Der Fehler entsteht beim Übergang zu der direkt darunter stehenden Zeile. Nach Korrektur lautet dein Gleichungssystem $\begin{eqnarray} 2 z_1-2z_2=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -2z_1+2z_2=2 \end{eqnarray}$ Dieses Gleichungssystem hat keine Lösung. Addiert man die beiden Gleichungen, erhält man die nützliche Beziehung $\begin{eqnarray} 0=1 \end{eqnarray}$ . Leider zweifeln rückständige Mathematiker an deren Richtigkeit. Wenn du zu Anfang zeigst, dass das Gleichungssystem nicht eindeutig nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ auflösbar ist, musst du überhaupt nicht rechnen, weil die gesuchten partiellen Ableitungen dann nicht existieren.
27.10.2022, 09:50	maths4u	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, jetzt versteh' ich's, danke dir Huggy!

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