Extremstelle berechnen

26.10.2022, 16:46	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremstelle berechnen Hallo Matheboard, Bei der angehängten Aufgabe weiß ich nicht so Recht weiter. ich hab einmal die Funktion f:=x^tAx und g=\|\|x\|\|^2-1=0 Jetzt haben wir den Satz, dass sich für $\begin{eqnarray} grad g(x_0)\neq 0 \end{eqnarray}$ ein Lagrangemultiplikator so dass gradf(x_0)= \lambda grad g(x_0) jetzt habe ich grad g(x) berechnet, und das ist der Spaltenvektor (2x_1 2x_2... 2x_n)^t und ich habe grad f(x) berechnet dazu habe ich erstmal f(x) bestimmt und da kam raus: $\begin{eqnarray} (x_1 x_2 ... x_n) \cdot A \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\...\\x_n\end{pmatrix} =(x_1 x_2 ... x_n) \begin{pmatrix} \sum\limits_{i=1}^{n} a_{1i}x_i \\ \sum\limits_{i=1}^{n} a_{2i}x_i \\ \sum\limits_{i=1}^{n} a_{3i}x_i\\...\\\sum\limits_{i=1}^{n} a_{ni}x_i\end{pmatrix} = x_1\cdot\sum\limits_{i=1}^{n} a_{1i}x_i+ x_2\cdot\sum\limits_{i=1}^{n} a_{2i}x_i+...+ x_n\cdot\sum\limits_{i=1}^{n} a_{ni}x_i \end{eqnarray}$ das hab ich komponentenweise abgeleitet: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \sum\limits_{i=2}^{n} a_{1i}x_i+2a_{11}x_1+x_2a_{21}+x_3a_{31}+...+x_na_{n1} \\ x_1a_{12}+\sum\limits_{i=1,i\neq 2}^{n} a_{2i}x_i+2a_{22}x_2+x_3a_{32}+...+x_na_{n2} \\ x_1a_{13}+x_2a_{23}+\sum\limits_{i=1,i\neq 3}^{n} a_{3i}x_i+2a_{33}x_3+x_4a_{43}+...+x_na_{n3}\\ ... \\ x_1a_{1n}+x_2a_{2n}+x_3a_{3n}+...+2a_{nn}x_n+\sum\limits_{i=1}^{n-1} a_{ni}x_i\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ also muss für die Extremstellen nach Vorraussetzung gelten, dass $\begin{eqnarray} \lambda \cdot 2x_1= \sum\limits_{i=2}^{n} a_{1i}x_i+2a_{11}x_1+x_2a_{21}+x_3a_{31}+...+x_na_{n1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda \cdot 2x_2=x_1a_{12}+\sum\limits_{i=1,i\neq 2}^{n} a_{2i}x_i+2a_{22}x_2+x_3a_{32}+...+x_na_{n2} \end{eqnarray}$ usw. und hier weiß ich dann nicht weiter...wisst ihr Rat? Grüße, eure HiBee
26.10.2022, 19:02	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremstelle berechnen Du könntest einen ungetrübten Blick auf die Aufgabe zur Spektralnorm werfen. Dort berechnest du $\begin{eqnarray} \\|Ax\\|^2=x^T(A^TA)x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \\|x\\|_2=1 \end{eqnarray}$ und weißt schon, dass das Ergebnis etwas mit Eigenwerten von $\begin{eqnarray} A^TA \end{eqnarray}$ zu tun hat. Was wird also hier heraus kommen? Übrigens ist es auch hier viel einfacher, die Darstellung $\begin{eqnarray} A=S^TDS \end{eqnarray}$ mit orthogonalem $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ und Diagonalmatrix $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ zu benutzen.
26.10.2022, 19:18	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremstelle berechnen Ach so, dann kommen hier also die Eigenwerte raus? Das hätte ich nicht gedacht... Ich hab doch jetzt ein LGS mit n Gleichungen und n unbekannten, könnte ich daraus nicht einfach eine Lösung ablesen?
26.10.2022, 19:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremstelle berechnen Das geht auch. Letztlich kommst du auf die Bedingung $\begin{eqnarray} Ax-\lambda x=0 \end{eqnarray}$ und das ist genau die Eigenwertgleichung. Deine Darstellung ist ein wenig unübersichtlich. Ich würde $\begin{eqnarray} F(x,\lambda):=x^TAx-\lambda g(x) = \sum_{i,j}a_{i,j}x_ix_j -\lambda (\sum_i x_i^2-1) \end{eqnarray}$ partiell ableiten. Mit der Symmetrie von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ kommt man auf $\begin{eqnarray} \frac{\partial F}{\partial x_k}=2\sum_j a_{k,j}x_j-2\lambda x_k \end{eqnarray}$
26.10.2022, 19:57	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremstelle berechnen Ach ja stimmt. Wenn ich die Symmetrie ausnutze, kann ich die Ableitung so umschreiben, das hatte meinem Beweis noch gefehlt! Danke
26.10.2022, 21:20	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Weg aus der Indexhölle. Es bezeichne $\begin{eqnarray} Du \end{eqnarray}$ die Jacobi-Matrix von $\begin{eqnarray} u(x). \end{eqnarray}$ Man hat $\begin{eqnarray} Dx=E, \end{eqnarray}$ wobei mit $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ die Einheitsmatrix gemeint ist. Ferner gilt $\begin{eqnarray} DAx=ADx, \end{eqnarray}$ weil $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine Konstante ist, richtig? Das wesentliche Utensil finden wir in der Produktregel $\begin{eqnarray} \nabla\langle u,v\rangle = (Du)^T v + (Dv)^T u. \end{eqnarray}$ Man erhält $\begin{eqnarray} \nabla f = \nabla\langle x,Ax\rangle = (Dx)^T Ax + (DAx)^T x = Ax+A^Tx = 2Ax, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \nabla g = \nabla(\\|x\\|^2-1) = \nabla\langle x,x\rangle = 2(Dx)^T x = 2x. \end{eqnarray}$ Die sollen kollinear sein, womit $\begin{eqnarray} \nabla f = \lambda\nabla g \end{eqnarray}$ gelten muss, was zur Bedingung $\begin{eqnarray} Ax=\lambda x \end{eqnarray}$ führt.
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