Problem mit einer Vierfeldertafel

27.10.2022, 09:43

MMchen60

Problem mit einer Vierfeldertafel

Libe Forumsgemeinde, ich komme da mit folgender Aufgabe nicht zurecht:
Bei einer Reihenuntersuchung kommt ein Test zum Einsatz, der mit 99,9 %-iger Wahrscheinlichkeit "anschlägt". (positiv + ausfällt). wenn der Proband infiziert ist (Sensitivität 99,9 %) und mit 99,8 %-iger Wahrscheinlichkeit negativ (-) ausfällt, wenn der Proband gesund ist (Spezifität 99,8 %). Man geht auf grund von statistischen Erfahrungen davon aus, dass 0,1 % der Bevölkerung infiziert sind.
Frank, der an der Reihenuntersuchung teilgenommen hat, erfährt von seinem positiven Ergebnis.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist Frank tatsächlich infiziert?
b) Frank unterzieht sich einem zweiten Test mit gleicher Sensitivität und gleicher Spezifität. Wie ändert sich die Wahrscheinlichkeit, dass Frank infiziert ist, wenn dieser Test auch positiv ausfällt?
c) Wie würde sich die Wahrscheinlichkeit von a) ändern, wenn Frank nicht auf Grund einer Reihenuntersuchung sondern wegen eines unguten Gefühls am Test teilgenommen hätte?

Nun habe ich eine Vierfeldertafel erstellt, siehe Anhang. Wenn ich jetzt aber $\begin{eqnarray*} P(I \cap T_+) \end{eqnarray*}$ ablese, komme ich auf 0,099 % für Aufgabe a). Das erscheint mir aber sehr unwahrscheinlich.

Wie wäre das richtig zu machen und
2. Wenn a) dann OK ist, lautet die Antwort für b) dann a)² ?
3. Wie ist c) zu bewerten?
Vielen Dank für Antworten.

27.10.2022, 09:57

adiutor62

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RE: Problem mit einer Vierfeldertafel
Mit Baumdiagramm:

a) 0,001*0,999/ (0,001*0,999 + 0,999*0,002)

b)

27.10.2022, 11:56

MMchen60

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RE: Problem mit einer Vierfeldertafel

Zitat:

Original von adiutor62
Mit Baumdiagramm:

a) 0,001*0,999/ (0,001*0,999 + 0,999*0,002)

b)

??? Wieso?
Und b)?

27.10.2022, 13:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von MMchen60
Wenn ich jetzt aber $\begin{eqnarray*} P(I \cap T_+) \end{eqnarray*}$ ablese, komme ich auf 0,099 % für Aufgabe a).

$\begin{eqnarray*} P(I \cap T_+) = 0,\!000999 = 0,\!0999\% \end{eqnarray*}$ ist richtig, aber das ist ja auch gar nicht bei a) gesucht, sondern stattdessen die bedingte Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(I \mid T_+) \end{eqnarray*}$ .

Berechnet wird das mit Bayesscher Formel $\begin{eqnarray*} P(I \mid T_+) = \frac{P(I \cap T_+)}{P(T_+)} \end{eqnarray*}$ mit der totalen Wahrscheinlichkeit im Nenner

$\begin{eqnarray*} P(T_+) = P(T_+\mid I)\cdot P(I) + P(T_+\mid I^c)\cdot P(I^c) = 0,\!999\cdot 0,\!001 + 0,\!002\cdot 0,\!999 = 0,\!000999 + 0,\!001998 = 0,\!002997 \end{eqnarray*}$

und damit $\begin{eqnarray*} P(I \mid T_+) = \frac{0,\!000999}{0,\!002997} = \frac{1}{3}\approx 33,\!3\% \end{eqnarray*}$ .

Bei b) geht man davon aus, dass die Ergebnisse der Testwiederholung bedingt (!) unabhängig sind, d.h. je nachdem ob der Proband infiziert ist oder nicht. Das ergibt

$\begin{eqnarray*} P(T_{++}\mid I) = \left(P(T_+\mid I\right))^2 = 0,\!998001 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(T_{++}\mid I^c) = \left(P(T_+\mid I^c\right))^2 = 0,\!000004 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt wieder Bayessche Formel, nur diesmal mit Ereignis $\begin{eqnarray*} T_{++} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} T_+ \end{eqnarray*}$ , ermöglicht die Berechnung von $\begin{eqnarray*} P(I \mid T_{++}) \end{eqnarray*}$ .

Zu c) Das "mulmige" Gefühl würde dahingehend ins Modell eingehen, dass mit anderen a-priori-Wahrscheinlichkeiten zu rechnen ist: Also nicht mehr mit den $\begin{eqnarray*} P(I)=0,\!001 \end{eqnarray*}$ welche dem Bevölkerungsanteil der Infizierten entspricht, sondern man benötigt sowas wie den Anteil der Infizierten unter denjenigen, die sich "mulmig" fühlen. Diesen Wert wird man nicht genau kennen, aber er wird sicherlich deutlich größer als diese $\begin{eqnarray*} 0,\!001 \end{eqnarray*}$ sein. Im Ergebnis dessen wird dann auch die zu berechnende bedingte Wahrscheinlichkeit deutlich größer als der Wert 33% von a) sein.

28.10.2022, 07:08

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} P(I \cap T_+) = 0,\!000999 = 0,\!0999\% \end{eqnarray*}$ ist richtig, aber das ist ja auch gar nicht bei a) gesucht, sondern stattdessen die bedingte Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(I \mid T_+) \end{eqnarray*}$ .

Berechnet wird das mit Bayesscher Formel $\begin{eqnarray*} P(I \mid T_+) = \frac{P(I \cap T_+)}{P(T_+)} \end{eqnarray*}$ mit der totalen Wahrscheinlichkeit im Nenner .....

Danke HAL 9000, jetzt hab ich's kapiert.
Meinolf

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