Tangentengleichung

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Hadouken1887 Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentengleichung
Ich habe eine Kreisgleichung gegeben mit

r=10
M(4;4)

sowie eine Geradengleichung mit

y = m * x - 9

gegeben.

Die Frage ist nun bei welcher Steigung m die Gerade den Kreis in einem Punkt berührt.

Ich habe das Problem, dass ich, wenn ich die Geradengleichung in die Kreisgleichung für y einsetze, hier zwei Unbekannte (m & x) habe und ich die Gleichung deshalb nicht aufgelöst bekomme.

Wer kann helfen?

Vielen Dank im Voraus.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentengleichung
Willkommen im Matheboard!

Wenn die Gerade den Kreis nur berühren soll, darf die entstehende quadratische Gleichung nur eine einzige Lösung haben. Ansonsten würde sie ihn zweimal oder gar nicht schneiden.

Das sollte als weitere Bedingung ausreichen.

Viele Grüße
Steffen
Hadouken1887 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentengleichung
Es geht darum nach m aufzulösen.

Also am ende bräuchte ich zwei Werte für m die die Geradesteigung (bei einem Y-Achsenabschnitt von -9) beschreiben, bei der die Gerade zur Tangente vom Kreis (x-4)^2+(y-4)^2=10^2 wird.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentengleichung
Richtig. Setz also, wie geschrieben, die Gleichungen gleich und löse nach x auf. Die Diskriminante, in der ja m steckt, muss, wie geschrieben, Null werden.
Hadouken1887 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentengleichung
Muss ich also zu erst die Kreisgleichung nach y umstellen, um dann beide Gleichungen gleichzusetzen und anschließend nach x auflösen?

Vielen Dank für Ihre Erklärungen.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentengleichung
Genau so!

Übrigens duzen wir uns hier.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hadouken1887
Muss ich also zu erst die Kreisgleichung nach y umstellen, um dann beide Gleichungen gleichzusetzen und anschließend nach x auflösen?

Passender wäre es, einfach die Geradengleichung in die Kreisgleichung einzusetzen, und dann die quadratische Gleichung für zu betrachten (mit dem schon gefallenen Stichwort "Diskriminante = 0").

Die Kreisgleichung nach umstellen ergibt eklige Wurzeln und Fallunterscheidungen - muss man sich zu diesem Zeitpunkt nicht antun.
Hadouken1887 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich g(x) in die Kreisgleichung einsetze, bekomme ich

(x-4)^2 + (mx-13)^2 = 10^2.

Ich kann jetzt ausmultiplizieren und die Gleichung nach 0 umstellen. Mein Problem ist dann ja aber immer noch, dass ich zwei Unbekannte habe. Mir ist in diesem Zusammenhang leider nicht klar, wie ich, da ich weiß, dass die Diskriminante 0 ist, ich mit m verfahren soll.

Nach dem ich die Gleichung umgestellt und zusammengefasst habe. Bekomme ich raus:

x^2 - 8x + (m*x)^2 - 26mx + 85 = 0
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hadouken1887
Mir ist in diesem Zusammenhang leider nicht klar, wie ich, da ich weiß, dass die Diskriminante 0 ist, ich mit m verfahren soll.

Die Diskriminante ist eine Funktion von . Die genannte Forderung, dass die Diskriminante im Tangentenfall gleich Null sein muss, ist dann just die Bestimmungsgleichung für den gesuchten Parameter !!! Übrigens auch wieder eine quadratische Gleichung, aber diesmal dann für .
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Alles korrekt bis jetzt. Nun alle quadratischen, linearen und absoluten Glieder zusammenfassen und damit in die Mitternachtsformel, alternativ in die pq-Formel. Die Diskriminante ist dann das unter der Wurzel.

PS: Ich finde übrigens das Gleichsetzen gar nicht so eklig, ist wohl Geschmackssache.
Hadouken1887 Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist leider nicht klar wie ich

x^2 - 8x + (m*x)^2 - 26mx + 85 = 0

so umgestellt bzw. zusammengefasst bekomme, dass ich die Gleichung in die PQ-Formel einsetzen kann.

Vielen Dank für Eure Hilfe. Ich hoffe Ihr seid meiner Nachfragerei noch nicht überdrüssig..
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie geschrieben: alles zusammenfassen.








Jetzt?
Hadouken1887 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, aber müsste ich jetzt nicht noch durch (1+m^2) Teilen bevor ich die Werte in die PQ-Formel einsetzen dürfte?

Oder kann ich jetzt bereits sagen, dass p = (-8 - 26*m) und q= 85 ist ?

Wenn ich es richtig verstanden habe, müsste ich dann ja weitermachen indem ich die Diskriminante gleich null setze und somit zwei Werte für m rausbekomme?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Manchmal bezeichnet man auch den zur unnormierten quadratischen Gleichung gehörenden Wert als Diskriminante...
Hadouken1887 Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar, dadurch bin ich auf die Lösung gekommen. Ich habe zu danken..!
Phenix Auf diesen Beitrag antworten »

@Hadouken1887

Wie lautet die Lösung:
Das heißt, bei welcher Steigung m berührt die Gerade den Kreis als eine Tangente in einem Punkt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Hadouken1887 bedauerlicherweise keine Lust mehr hat, den Schlussteil der Rechnung hier darzulegen, kannst du ja einspringen.
Phenix Auf diesen Beitrag antworten »

… oder vielleicht du? Lehrer
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst Du es wirklich nicht? Na gut, der Vollständigkeit halber und bevor es wieder Streit gibt:











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