Beweis zu Injektivität/Urbild

27.10.2022, 23:42

voules

Beweis zu Injektivität/Urbild

Meine Frage:
Seien M, N Mengen. Zeigen Sie:
Eine Abbildung f : M --> N ist genau dann injektiv, wenn für jedes y Element von N das
Urbild f -1({y}) entweder leer ist oder höchstens ein Element enthält.

Meine Ideen:
Zuerst habe ich angenommen, dass die Funktion injektiv ist und die Definition von Injektivität verwendet:

f(x1) = f(x2) --> x1 = x2

Daraus würde folgen, dass f -1({y1}) = f -1({y2}) und y1=y2.

Somit hätte ich bewiesen, dass das Urbild genau ein Elemen erhält. Mein Problem ist es zu Zeigen, dass es höchstens ein Element enthält.

Mein zweiter Versuch wäre Anwendung von der Definition, die ich gefunden habe:

Eine Funktion f : X --> Y ist injektiv, wenn es zu jedem Element y der Zielmenge Y höchstens ein (also eventuell gar kein) Element x der Ausgangs- oder Definitionsmenge X gibt, das darauf zielt. Daraus würde direkt folgen, dass das Urbild höhstens ein Element x erhält. Wäre das dann richtig? Und wenn ja, wie kann man das formell aufschreiben. Ich bin für jeden Tipp dankbar!

28.10.2022, 05:07

Elvis

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Du musst dich mehr mit Mengenlehre und ein wenig mit Logik befassen. Lies nochmal aufmerksam durch, was du in der Vorlesung mitgeschrieben hast. Es geht nicht nur um Formalitäten sondern um die Mathematik selbst und vor allem um ihre Begriffe, die du verstehen musst. Nur wenn du einen sinnvollen Ansatz findest kann man dir weiterhelfen.

28.10.2022, 06:25

Finn_

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Zur Formalisierung der blumigen Aussage »Die Menge $\begin{eqnarray*} A\subseteq M \end{eqnarray*}$ ist leer oder enthält höchstens ein Element.« an. Als Hilfsmittel wird die Abbildung

$\begin{eqnarray*} \eta\colon M\to\mathcal P(M),\quad \eta(x):=\{x\} \end{eqnarray*}$

eingeführt, die die Elemente von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ in Einermengen umwandelt. Nun ist » $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthält genau ein Element« äquivalent zu » $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist eine Einermenge«. Das Bild $\begin{eqnarray*} \eta(M) \end{eqnarray*}$ ist die Menge der Einermengen. Die Formalisierung der Aussage lautet somit

$\begin{eqnarray*} A=\emptyset\lor A\in\eta(M). \end{eqnarray*}$

Per Definition gilt

$\begin{eqnarray*} \eta(M) := \{\eta(x)\mid x\in M\} := \{A\mid \exists x\in M\colon A=\eta(x)\}, \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} A\in\eta(M)\iff \exists x\in M\colon A=\{x\}. \end{eqnarray*}$

Es finden sich die Äquivalenzumformungen

$\begin{eqnarray*} A=\emptyset\lor\exists x\in M\colon A=\{x\}\iff \exists x\in M\colon A=\emptyset\lor A=\{x\} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} A=\emptyset\lor A=\{x\}\iff A\in\{\emptyset\}\lor A\in\{\{x\}\}\iff A\in\{\emptyset\}\cup\{\{x\}\} = \{\emptyset,\{x\}\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iff A\in\mathcal P(\{x\}) \iff A\subseteq\{x\}. \end{eqnarray*}$

Die Aussage $\begin{eqnarray*} \exists x\in M\colon A\subseteq\{x\} \end{eqnarray*}$ formalisiert die blumige demgemäß ebenfalls. Die rechte Seite der Behauptung lautet insofern

$\begin{eqnarray*} \forall y\in N\colon\exists x\in M\colon f^{-1}(\{y\})\subseteq\{x\}, \end{eqnarray*}$

woraus nach Einsetzen der Definition der Relation $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ die Aussage

$\begin{eqnarray*} \forall y\in N\colon\exists x\in M\colon\forall x'\colon f(x') =y\Rightarrow x' = x \end{eqnarray*}$

hervorgeht. Laut Behauptung soll sie äquivalent sein zu

$\begin{eqnarray*} \forall x\in M\colon\forall x'\in M\colon f(x')=f(x)\Rightarrow x'=x. \end{eqnarray*}$

28.10.2022, 09:18

Elvis

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Ein Studierender im 1.Semester kann das auch weniger formal beschreiben. Das ist dann eher eine Übung mit einfachen Aussagen.

29.10.2022, 23:06

voules

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Zitat:

Original von Elvis
Es geht nicht nur um Formalitäten sondern um die Mathematik selbst und vor allem um ihre Begriffe, die du verstehen musst. Nur wenn du einen sinnvollen Ansatz findest kann man dir weiterhelfen.

Ich habe doch nicht nur einen Ansatz, sondern zwei gefunden. Und die Aussage, dass ich bestimmte Begriffe nicht verstanden habe, ist auf jedem Fall nicht begrüdet. Hättest du gründlich durchgelesen, was ich geschrieben habe, hättest du das gewusst. Ich finde deine Kommentare sehr respektlos. Hilfe habe ich komplett woanders gefunden.

30.10.2022, 01:30

Elvis

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Wörterbuch, Definitionen von Oxford Languages.
Respekt, Substantiv, maskulin [der]
1. auf Anerkennung, Bewunderung beruhende Achtung
2. vor jemandem aufgrund seiner höheren, übergeordneten Stellung empfundene Scheu, die sich in dem Bemühen aeussert, kein Missfallen zu erregen

Stimmt, ich bewundere dich nicht, und ich habe auch keine Scheu vor deiner höheren Stellung.

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