Induktionsbeweis mit Fakultät und Summe

28.10.2022, 07:29	Alexandre	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsbeweis mit Fakultät und Summe Meine Frage: Hallo! Ich versuche gerade eine alte Prüfungsaufgabe zu lösen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n+1} \sum\limits_{i=1}^{n} (\frac{1}{n} + i^{2} ((i-1)!)) = n! \end{eqnarray}$ Es geht darum, die Aussage mittels vollständiger Induktion für alle natürlichen Zahlen >=1 zu beweisen. Ich sitz schon seit einiger Zeit an dem Problem und komme einfach nicht auf eine Lösung :/ Induktionsbehauptung: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n+1+1}\sum\limits_{i=1}^{n+1} (\frac{1}{n+1} +i^{2} <br /> ((i-1)!)) = (n+1)! \end{eqnarray}$ Lösungsansatz: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n+2}\sum\limits_{i=1}^{n+1} (\frac{1}{n+1} +i^{2} <br /> ((i-1)!)) = \frac{1}{n+2}(\frac{1}{n}+i^{2} ((i-1)!) + \frac{1}{n+1}+(n+1)^{2}n!) = (n+1)! \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Ich hab versucht, wie gewohnt bei Induktionen mit Summen vorzugehen, also $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{n+1}= \sum\limits_{i=1}^{n} + \sum\limits_{i=n+1}^{n+1} \end{eqnarray}$ aufzuteilen, aber das hat bei mir nur zu einem riesigen Ausdruck geführt, bei dem ich keine Ahnung habe wie ich ihn in die Induktionsbehauptung umformen kann.
28.10.2022, 09:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es versucht, indem ich $\begin{eqnarray} \frac 1 {n+2}=\frac {n+1}{n+2}\cdot \frac 1{n+1} \end{eqnarray}$ schreibe und den ersten Bruch im Induktionsschritt vor der großen Klammer stehen lasse. Dann kann ich die Induktionsvoraussetzung anwenden und weiterrechnen. Komme dann leider auf $\begin{eqnarray} (n+1)!\cdot (1+\epsilon) \end{eqnarray}$ , aber das kannst du bestimmt besser.
28.10.2022, 09:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na als erstes kann man ja die Behauptung äquivalent umformen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n+1}\cdot \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{1}{n} + i^2\cdot (i-1)!\right) = n! \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} + \sum_{i=1}^{n} i^2\cdot (i-1)! = (n+1)! \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n} i\cdot i! = (n+1)!-1 \end{eqnarray}$ So sieht die Sache doch schon netter aus, vor allem weil der Summand von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ befreit ist und damit einem Induktionsschritt zugänglicher ist. Man kann die Sache aber auch abkürzen indem man die Teleskopsummenstruktur erkennt: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n} i\cdot i! = \sum_{i=1}^{n} \left((i+1)-1\right)\cdot i! = \sum_{i=1}^{n} \left((i+1)!-i!\right) \end{eqnarray}$ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Wer dennoch auf einen Induktionsbeweis der Gleichung in Originalform beharrt, kann das mit folgendem Induktionsschritt $\begin{eqnarray} n\to n+1 \end{eqnarray}$ tun: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n+2}\cdot \sum_{i=1}^{n+1} \left(\frac{1}{n+1} + i^2\cdot (i-1)!\right) &=& \frac{1}{n+2}\cdot \left[ 1 + \sum_{i=1}^{n+1} i\cdot i! \right] = \frac{1}{n+2}\cdot \left[ 1 + \sum_{i=1}^{n+1} ((i+1)-1)\cdot i! \right] = \frac{1}{n+2}\cdot \left[ 1 + \sum_{i=1}^{n+1} ((i+1)!-i!) \right]\\ &\stackrel{T}{=}& \frac{1}{n+2}\cdot \left[ 1 + (n+2)! - 1! \right] = \frac{(n+2)!}{n+2} = (n+1)! \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \stackrel{T}{=} \end{eqnarray}$ steht für "Teleskopsumme ausgewertet". Dazu noch ein Suchrätsel: Wo in dieser Gleichungszeile wird die Induktionsvoraussetzung genutzt?
28.10.2022, 09:56	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Sie muss nicht einmal orakelhaft erkannt werden. Man kann sie einfach ausrechnen, indem der Operator $\begin{eqnarray} (\Delta f)(n):=f(n+1)-f(n) \end{eqnarray}$ auf die rechte Seite $\begin{eqnarray} s(n):=(n+1)!-1 \end{eqnarray}$ angewendet wird. Erwartungsgemäß erhält man $\begin{eqnarray} (\Delta s)(n-1) = s(n)-s(n-1) = (n+1)! - n! = (n+1)n!-n! = n\cdot n!. \end{eqnarray}$
28.10.2022, 10:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die einen mögen das orakelhafte, die anderen technokratischen Operatorengebrauch.

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