Differenzierbarkeit eines Produkts

28.10.2022, 09:29	justlikemanuel	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit eines Produkts Hallo liebe Mathematiker, ich scheitere gerade an unserem Übungsblatt. Wir sollen eine Funktion f(x) finden, die nicht differenzierbar ist, aus der durch Multiplikation mit x aber eine differenzierbare Funktion entsteht. Mit Blick auf die Produkttegel kommt mir das etwas seltsam vor? Ich habe vereinzelte Beispiele gefunden, wie Sprung- oder Rechteckfunktionen, Sägezähne ....oder f(x)=1/ln(x+1), die dann häufig im Punkt x=0 nicht differenzierbar sind, durch Multiplikation mit x aber diffbar werden. So richtig zufrieden bin ich damit aber nicht, weil das nur eine lokale Argumentation ist.... Hast Du eventuell noch bessere Vorschläge? Ich wäre sehr dankbar! Viele Grüße, Manuel
28.10.2022, 09:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit eines Produkts Es wird die einzige Art von Beispielen sein, die es gibt. Ich vermute, man kann zeigen, dass $\begin{eqnarray} x \mapsto x f(x) \end{eqnarray}$ differenzierbar in $\begin{eqnarray} x_0 \neq 0 \end{eqnarray}$ impliziert, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ differenzierbar ist. Also alles richtig gemacht Edit: Es geht sogar sehr high-level. Wenn $\begin{eqnarray} g : x \mapsto x f(x) \end{eqnarray}$ differenzierbar ist, dann auch $\begin{eqnarray} x \mapsto \frac {g(x)} x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\neq0 \end{eqnarray}$ , da der Nenner dort nicht 0 ist.
28.10.2022, 09:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es, es kann nur um den Punkt $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ gehen, wo sich das Differenzierbarkeitsverhalten ggfs. ändert. Eine ebenfalls passende Beispielfunktion ist $\begin{eqnarray} f(x)=\|x\| \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \left[xf(x)\right]' = 2\|x\| \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , auch $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ .
15.12.2022, 09:31	justlikemanuel	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen, vielen Dank für die Antwort! Ich hab irgendwie total vergessen, nach Antworten zu schauen und auch matheboard hat mir keine Mail gesendet, dass es Antworten gibt.... wie auch immer, vielen Dank und frohe Weihnachten! Viele Grüße Manuel

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »