Dichtefunktion der Geschwindigkeit

28.10.2022, 12:56

Kokos

Dichtefunktion der Geschwindigkeit

Meine Frage:
Hallo

gegeben ist eine harmonische Schwingung mit
$\begin{eqnarray*} x=A\sin(\omega t ) \end{eqnarray*}$
sowie die Dichtefuntion des Ortes
$\begin{eqnarray*} w(x)=\frac{1}{\pi \sqrt{A^2-x^2)} } \end{eqnarray*}$

gesucht ist die Dichtefunktion der Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} w(v) \end{eqnarray*}$

Danke für Hinweise

Meine Ideen:
Ich habe es mit $\begin{eqnarray*} w(x)dx=w(v)dv \end{eqnarray*}$ probiert
Zusammen mit $\begin{eqnarray*} v=\omega\sqrt{A^2-x^2)} \end{eqnarray*}$
bekomme ich $\begin{eqnarray*} w(v) =\frac{1}{\pi \sqrt{A^2\omega^2 -v^2} } \end{eqnarray*}$
Was aber nicht sein kann

28.10.2022, 13:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kokos
bekomme ich $\begin{eqnarray*} w(v) =\frac{1}{\pi \sqrt{A^2\omega^2 -v^2} } \end{eqnarray*}$
Was aber nicht sein kann

Doch, Ergebnis ist korrekt. Zu beachten sind die unterschiedlichen Gültigkeitsbereiche der beiden Dichten (unglücklich ist allenfalls, dass du beide "w" nennst):

Für den Ort $\begin{eqnarray*} -A<x<A \end{eqnarray*}$ .
Für die Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} -A\omega<v<A\omega \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Tatsächlich hätte die Ortsdichte w(x) gar nicht vorgegeben werden müssen, die ergibt sich rein aus der Schwingungsgleichung unter der Annahme, dass der Ort zu eine zufälligen (d.h. im Schwingungsintervall stetig gleichverteiltem) Zeitpunkt betrachtet werden soll.

28.10.2022, 17:28

Kokos

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Danke für die Antwort
Aber das ist schwer zu verstehen. Bei zufälligen Ortsmessungen bekommt man
häufiger Bereiche wo die Geschwindigkeit geringer ist
statt dessen kommen höhere Geschwindigkeiten bei w(p) häufiger vor

Wie wären die richtigen Bezeichnungen für w(x) und w(p)?

28.10.2022, 17:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kokos
Bei zufälligen Ortsmessungen bekommt man häufiger Bereiche wo die Geschwindigkeit geringer ist

Mag sein, aber darum geht es m.E. doch nicht:

Nicht die Ortsposition, wo die Geschwindigkeit gemessen wird, ist stetig gleichverteilt, sondern der Zeitpunkt innerhalb einer Schwingungsperiode der Dauer $\begin{eqnarray*} \frac{2\pi}{\omega} \end{eqnarray*}$ !!!

Und da ist maßgeblich, dass zu $\begin{eqnarray*} x=A\sin(\omega t) \end{eqnarray*}$ ja $\begin{eqnarray*} v =\dot{x}=A\omega\cos(\omega t) \end{eqnarray*}$ gehört. Und ob nun Sinus oder Kosinus, die sind ja nur gegeneinander um eine Viertelperiode verschoben - führen also gleichermaßen zu einer Dichte, die an den Rändern höher ist als in der Mitte.

Zitat:

Original von Kokos
Wie wären die richtigen Bezeichnungen für w(x) und w(p)?

Das ist mir wurst, wie du das nennst. Das Problem ist, es gleich zu nennen: Denn was bedeutet in dieser Symbolik $\begin{eqnarray*} w(0) \end{eqnarray*}$ ? Ist das die Ortsdichte an Position 0? Oder die Geschwindigkeitsdichte für Geschwindigkeit 0? Unklar.

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