Frage zur Projektion

28.10.2022, 16:00

Projektor1

Frage zur Projektion

Hallo,

normalerweise haben wir ja bei einer Projektion folgendes $\begin{eqnarray*} proj_u(v) = \frac{\langle u , v \rangle}{\langle u , u \rangle}u \end{eqnarray*}$ ,
wenn ich das jetzt etwas abändere, wobei $\begin{eqnarray*} b_i^* \end{eqnarray*}$ ein Gram Schmidt Vektor ist und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einfach einen Vektor darstellt,
was bedeutet dann folgendes $\begin{eqnarray*} \frac{\langle x , b_i^* \rangle}{\langle b_i^* , b_i^* \rangle} \end{eqnarray*}$ ? Gibt es hierfür irgendwelche Interpretationen?

28.10.2022, 17:24

Finn_

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Betrachte die Termumformung

$\begin{eqnarray*} w:=\frac{\langle u,v\rangle}{\langle u,u\rangle}u = \frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|^2}u = \frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|}\frac{u}{\|u\|}. \end{eqnarray*}$

Durch den Vektor $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ist eine Ursprungsgerade gegeben, wobei $\begin{eqnarray*} \tfrac{u}{\|u\|} \end{eqnarray*}$ einer der beiden Einheitsvektoren in Richtung dieser Geraden ist. Insofern muss

$\begin{eqnarray*} \frac{|\langle u,v\rangle|}{\|u\|} = \|w\| \end{eqnarray*}$

sein. Dieser Betrag hängt nicht von $\begin{eqnarray*} \|u\| \end{eqnarray*}$ ab, nur von der Richtung der Geraden. Der Wert

$\begin{eqnarray*} \frac{\langle u,v\rangle}{\langle u,u\rangle} = \pm\frac{\|w\|}{\|u\|} \end{eqnarray*}$

hat allerdings nicht so eine natürliche Bedeutung.

28.10.2022, 17:47

Projektor1

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Danke für deine Antwort Finn_,

ich denke bei $\begin{eqnarray*} \frac{\langle x , b_i^* \rangle}{\langle b_i^* , b_i^* \rangle} \end{eqnarray*}$ eher an die Länge der Komponente von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die auf $\begin{eqnarray*} b_i^* \end{eqnarray*}$ projiziert wird. Kann man das so interpretieren?

30.10.2022, 23:31

Projektor1

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Ist das richtig?

31.10.2022, 08:46

Finn_

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Du beziehst dich auf die Komponenten bezüglich der Orthogonalbasis $\begin{eqnarray*} B^*=(b_1^*,\ldots,b_n^*). \end{eqnarray*}$ Es soll also $\begin{eqnarray*} x = \sum_{k=1}^n \lambda_k b_k^* \end{eqnarray*}$ sein. Insofern gilt

$\begin{eqnarray*} \langle x,b_i^*\rangle = \sum_{k=1}^n \lambda_k\underbrace{\langle b_k^*,b_i^*\rangle}_{\delta_{ki}} = \lambda_i\langle b_i^*,b_i^*\rangle. \end{eqnarray*}$

Folglich ist $\begin{eqnarray*} \frac{\langle x,b_i^*\rangle}{\langle b_i^*,b_i^*\rangle} = \lambda_i. \end{eqnarray*}$

Man nennt dies die i-te Koordinate oder i-te skalare Komponente bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} B^*. \end{eqnarray*}$

Unter der Länge der i-ten vektoriellen Komponente würde man die nichtnegative Zahl $\begin{eqnarray*} \|\lambda_i b_i^*\| = |\lambda_i|\|b_i^*\| \end{eqnarray*}$ verstehen.

31.10.2022, 12:15

Projektor1

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Zitat:

Original von Finn_
Du beziehst dich auf die Komponenten bezüglich der Orthogonalbasis $\begin{eqnarray*} B^*=(b_1^*,\ldots,b_n^*). \end{eqnarray*}$ Es soll also $\begin{eqnarray*} x = \sum_{k=1}^n \lambda_k b_k^* \end{eqnarray*}$ sein. Insofern gilt

$\begin{eqnarray*} \langle x,b_i^*\rangle = \sum_{k=1}^n \lambda_k\underbrace{\langle b_k^*,b_i^*\rangle}_{\delta_{ki}} = \lambda_i\langle b_i^*,b_i^*\rangle. \end{eqnarray*}$

Folglich ist $\begin{eqnarray*} \frac{\langle x,b_i^*\rangle}{\langle b_i^*,b_i^*\rangle} = \lambda_i. \end{eqnarray*}$

Man nennt dies die i-te Koordinate oder i-te skalare Komponente bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} B^*. \end{eqnarray*}$

Unter der Länge der i-ten vektoriellen Komponente würde man die nichtnegative Zahl $\begin{eqnarray*} \|\lambda_i b_i^*\| = |\lambda_i|\|b_i^*\| \end{eqnarray*}$ verstehen.

Hallo Finn_

danke für deine Antwort! Besonders das hier

Zitat:

Man nennt dies die i-te Koordinate oder i-te skalare Komponente bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} B^*. \end{eqnarray*}$

Wusste ich noch nicht! Das hilft mir weiter! PS: Woher kennst du diese Definition? Mir ist das aus LA nicht bekannt, aber man sieht es der Gleichung an... verwirrt

31.10.2022, 13:32

Finn_

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In Lineare Algebra von Gerd Fischer findet sich im Abschnitt 2.6 Koordinatentransformationen der Absatz:

Zitat:

Sei wieder $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum mit einer Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal B=(v_1,\ldots,v_n). \end{eqnarray*}$ Entsprechend 2.4.2 gehört dazu genau ein Isomorphismus [bijektive lin. Abb.]

$\begin{eqnarray*} \Phi_{\mathcal B}\colon K^n\to V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Phi_{\mathcal B}(e_j) = v_j \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j=1,\ldots,n, \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} (e_1,\ldots,e_n) \end{eqnarray*}$ wie immer die kanonische Basis des $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Nach Definition ist

$\begin{eqnarray*} \Phi_{\mathcal B}(x_1,\ldots,x_n) = x_1 v_1 + \ldots + x_n v_n. \end{eqnarray*}$

Man nennt $\begin{eqnarray*} \Phi_{\mathcal B} \end{eqnarray*}$ das durch $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ bestimmte Koordinatensystem in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} x = (x_1,\ldots,x_n) = \Phi_{\mathcal B}^{-1}(v)\in K^n \end{eqnarray*}$

die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} v = x_1 v_1+\ldots+x_n v_n. \end{eqnarray*}$

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