Transitive Relation auf eine zweielementige Menge

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wwwwwü Auf diesen Beitrag antworten »
Transitive Relation auf eine zweielementige Menge
Meine Frage:
Guten Tag,

Ich habe eine Menge M mit den Elementen 1 und 2. Auf die Menge M soll ich nun eine Relation bilden und anschließend bestimmen welche Teilmengen transitiv sind. Es wurden schon ähnliche Frage auf unterschiedlichen Foren gestellt. Dort wurde aber z.B die Teilmenge {(1,2)} als nicht transitiv eingestuft.

LG

Meine Ideen:
Nach der Definition muss ja a~b und b~c --> a~c gelten.
Wenn ich nun einsetzte 1=a, 2=b: 1~2 und 2~c --> 1~c.

Damit wäre doch aber die Konjunktion doch Falsch, da kein Tupel mit 2 beginnt und damit die Implikation als Schlussfolgerung wahr. Verstehe ich etwas falsch? Würde momentan auf 12 transitive Teilmengen kommen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast völlig Recht, und dein Beweis ist an Klarheit nicht mehr zu überbieten. Für 1 und 2 in M ist die Teilmenge {(1,2)} von MxM eine transitive Relation auf M.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch ein schönes Argument für die Transitivitaet von Relationen. Eine Relation R ist entweder transitiv oder nicht transitiv.
Transitiv :
Nicht transitiv :
Transitivitaetsleugner müssen also ein geeignetes Paar angeben können, das nicht in der Relation liegt. Das fällt insbesondere bei der leeren Menge und wie in deinem Beispiel bei einelementigen Mengen sehr schwer.
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