Stabilitätsindikator

29.10.2022, 12:25

HiBee123

Stabilitätsindikator

Hallo Matheboard,

eine neue Aufgabe... wo ich schon die Aufgabenstellung nicht ganz verstehe: Was heißt zum Beispiel "Terme höherer Ordnung"?

Grüße,
eure HiBee

29.10.2022, 16:53

HiBee123

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RE: Stabilitätsindikator
Kann es sein, das man hier eine Taylorentwicklung machen muss und dann die Terme höherer Ordnung einfach wegfallen? Ist vielleicht das so gemeint?

29.10.2022, 18:15

IfindU

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RE: Stabilitätsindikator

Zitat:

Original von HiBee123
Kann es sein, das man hier eine Taylorentwicklung machen muss und dann die Terme höherer Ordnung einfach wegfallen? Ist vielleicht das so gemeint?

Es sind so wenige Annahmen an die Funktion gemacht, dass man keine sinnvolle Abschätzung treffen kann. Daher nehme ich an du sollst annehmen du kannst eine "sinnvolle" Taylor-Entwicklung machen und es so abschätzen. Ansonsten gibt es keinen Grund, warum $\begin{eqnarray*} \widetilde f( \widetilde x, \epsilon) \end{eqnarray*}$ auch nur annährend etwas mit $\begin{eqnarray*} \widetilde f( x, \epsilon) \end{eqnarray*}$ gemeinsam haben sollte, geschweige denn nahe dran.

29.10.2022, 18:40

HiBee123

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RE: Stabilitätsindikator
Lieben lieben Dank für deine Antwort.

Das Licht am Ende des Tunnels sehe ich leider immer noch nicht...

Aber ist es nicht so, dass

$\begin{eqnarray*} \widetilde f( \widetilde x, \epsilon) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \widetilde f( x, \epsilon) \end{eqnarray*}$ beieinander liegen, wegen dem letzten Hinweis, dass der Fehler von x und $\begin{eqnarray*} \widetilde x \end{eqnarray*}$ relativ klein ist?

Und wie gehe ich jetzt weiter vor? Einfach mal Kettenregel draufschmeißen? bringt das was?

29.10.2022, 19:38

IfindU

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RE: Stabilitätsindikator
Ich würde nicht auf die $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ Funktionen eingehen, wenn du das meinst. Ich hoffe die sind später relevant, ansonsten verstehe ich den nutzen davon nicht. Jede Funktion kann als Verkettung von "irgendwelchen" dargestellt werden. Und wir wissen nichts von den $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und haben keine Abschätzungen.

Ich würde $\begin{eqnarray*} \widetilde f(\widetilde x, \epsilon) \approx \widetilde f( x, \epsilon) + (\widetilde x - x) \tilde f'(x, \epsilon) \end{eqnarray*}$ schreiben und gucken was man damit anfangen kann. Wie gesagt, bin alles andere als Fan von der Aufgabe, wo absolut unklar ist was man überhaupt zeigen soll.

29.10.2022, 20:18

HiBee123

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RE: Stabilitätsindikator
Also das wäre der Rest der Aufgabe (,der auch noch auf mich wartet)
Vielleicht braucht man ja dafür die g...

Ich muss mir nochmal das Skript genauer angucken...
Ich glaub wir müssen irgendwo eine "nahrhafte 0" einfügen, also irgendein f(x) oder f tilde von x oder so einfügen und abziehen und dann die Dreiecksungleichung benutzen...

29.10.2022, 20:32

IfindU

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RE: Stabilitätsindikator
Einsetzen von Taylor liefert ja
$\begin{eqnarray*} \frac { | f(x) - \widetilde f(\widetilde x, \epsilon) |}{ |f(x)|} \approx \frac { | f(x) - \widetilde f(x, \epsilon) - (\widetilde x - x) \tilde f'(x, \epsilon) |}{ |f(x)|} \leq \frac { | f(x) - \widetilde f(x, \epsilon) |}{ |f(x)|} + \frac { | (\widetilde x - x) \tilde f'(x, \epsilon)|}{ |f(x)|} \end{eqnarray*}$

Der erste Summand lässt sich gegen den relativen Stabilitätsfaktor abschätzen und für den zweiten nimmt man den Hinweis und bekommt
$\begin{eqnarray*} \frac { | (\widetilde x - x) \tilde f'(x, \epsilon)|}{ |f(x)|} \leq c \epsilon |\tilde f'(x, \epsilon)| \frac { |x|}{ |f(x)|} \end{eqnarray*}$

Stellt man jetzt die relative Konditionszahl (Wiki) nach $\begin{eqnarray*} \frac { |x|}{ |f(x)|} \end{eqnarray*}$ um, bekommt man eine Abschätzung (etwa) gegen $\begin{eqnarray*} \kappa \cdot \frac 1 {|f'(x)|} \end{eqnarray*}$ .

Ich vermute das ist gemeint. Man müsste bei b) mal mit der Kettenregel tatsächlich durchrechnen, ob die Aussage das liefert, was man braucht.

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