Beweis: Polynom hat keine rationale Nullstelle

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Elila1 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Polynom hat keine rationale Nullstelle
Meine Frage:
Hallo,

ich habe in der Aufgabe ein Polynom p(x)=8x^3-6-1 und ich soll zeigen, dass es keine rationale Nullstellen hat.

Meine Ideen:
Dazu versuch ich nun einen Beweis zu verstehen und zwar:
Annahme: Es gibt ein x=p/q mit p(x)=0
Weiter sei p und q teilerfremd sind.
Dann setzte x=p/q in p(x)=0 ein und erhalte mit Umformungen:
2(4p^(3)-3p^(2)q)=q^(3) (*)
=> 2|q^3 =>2|q <=> q=2k
=> Da q und p teilerfremd sind gilt, p=2z+1
p=2z+1 setze ich in (*) ein und erhalte:
(2z+1)((2z+1)^2)-3k^2=k^3
(Bis hier hin versteh ichs, dann nicht mehr)
(2z+1)((2z+1)^2)-3k^2=k^3 mod 2
=> (0+1)((0+1)^2)+1k^2=k^3 mod 2
k=0 => 1*(1+0)=0^3 mod 2 Widerspruch
k=1 => 1*(1+1)=1^3 mod 2 Widerspruch
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Polynom hat keine rationale Nullstelle
Zitat:
Original von Elila1
ein Polynom p(x)=8x^3-6-1


Bitte das Polynom korrekt angeben.
Elila1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Polynom hat keine rationale Nullstelle
Ich kann das glaub ich nicht mehr korrigieren ich meine das Polynom 8x^3-6x-1
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Polynom hat keine rationale Nullstelle
Bitte verwende Latex. Es ist eine Zumutung, mehrere Zeilen Formelsalat ohne Formelsatz zu lesen. Aber ich glaube, ich brauche nicht weit zu lesen:

Zitat:
Original von Elila1
2(4p^(3)-3p^(2)q)=q^(3) (*)


Bereits hier ist ein Fehler. Überprüfe die Exponenten von . Der Fehler ist allerdings nicht bedeutend für die weitere Argumentation. Links einfach ausklammern. Daraus kann man Folgerungen für ziehen.
Elila1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Polynom hat keine rationale Nullstelle


für k
Und da angenommen, dass p und q teilerfremd sind gilt: für z

Nun setzte ich und in und erhalte:





Stimmt es jetzt soweit?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Polynom hat keine rationale Nullstelle
Zitat:
Original von Elila1


Den Rest habe ich mir nicht angeschaut. Denn aus dieser Gleichung folgt: . Und da und teilerfremd ist, heißt das für ?
 
 
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