Schreibweise Gradient

30.10.2022, 11:10	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibweise Gradient Hallo Matheboard, Mir war unklar, ob der Gradient ein Zeilen oder Spaltenvektor ist, laut Wikipedia ist es ein Zeilenvektor. Nur hatten wir dass die Richtungsableitung der transponierte Gradient ist, oder sowas in der Art. Das wollte ich auch nochmal nachschlagen und bin dann auf diesen Anhang gestoßen, dass alle gleich sind... Das kann ja wohl nicht sein? Wir hatten gelernt dass es Zeilenvektoren und Spaltenvektoren gibt, ich weiß nur nicht mehr, was was war .Könntet ihr mir nochmal eine sinnvolle Definition geben? Gruß, eure HiBee
30.10.2022, 11:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schreibweise Gradient Es ist nicht die Richtungsableitung, welche eng mit dem Gradienten verknüpft ist, sondern die totale Ableitung. Die totale Ableitung ist definiert als lineare Abbildung und der Gradient als Richtung des steilsten Anstiegs. Je nachdem wie man beide Räume (Lineare Abbildungen und Richtungen) identifiziert, können es Spalten- und Zeilenvektoren sein. Ehrlich gesagt habe ich praktisch niemanden gesehen, der die sauber auseinander gehalten hat. Es wurde alles immer so notiert wie gerade praktisch war. Wenn es notationell mehrdeutig war, wurde einfach gesagt wie der Ausdruck zu interpretieren ist. Edit: Beachte im Screenshot, dass die totale Ableitung als lineare Abbildung auf $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ wirkt, während der Gradient via Matrix-Vektor/Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ wirkt.
30.10.2022, 17:54	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ die euklidische Ebene und $\begin{eqnarray} f\colon E\to\mathbb R \end{eqnarray}$ eine differenzierbare Funktion. An jedem Punkt $\begin{eqnarray} p\in E \end{eqnarray}$ darf ein Vektor $\begin{eqnarray} v\in V \end{eqnarray}$ als Verschiebung zu einem anderen Punkt $\begin{eqnarray} p+v\in E \end{eqnarray}$ wirken, eine Gruppenaktion der Gruppe $\begin{eqnarray} (V,+) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} E. \end{eqnarray}$ Wir schreiben auch $\begin{eqnarray} T_p E=V \end{eqnarray}$ und sagen, $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist als Tangentialraum an jedem Punkt $\begin{eqnarray} p\in E \end{eqnarray}$ angeheftet, wobei sich der Sinn erst später bei gekrümmten Räumen klärt. Sei $\begin{eqnarray} \gamma(t):=p+vt \end{eqnarray}$ eine Parametergerade. Der Skalar $\begin{eqnarray} D_v f(p) := (f\circ\gamma)'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{(f\circ\gamma)(h)-(f\circ \gamma)(0)}{h} \end{eqnarray}$ heißt die Richtungsableitung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ am Punkt $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ bezüglich Geschwindigkeitsvektor $\begin{eqnarray} v. \end{eqnarray}$ Die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \mathrm df(p)\colon T_p E\to\mathbb R,\quad \mathrm df(p)(v) := D_v f(p) \end{eqnarray}$ heißt totale Ableitung. Weil $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ euklidisch ist, ist $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ als euklidischer Vektorraum mit einem Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \langle v,w\rangle \end{eqnarray}$ behaftet. Wir definieren $\begin{eqnarray} \nabla f(p) \end{eqnarray}$ dadurch, dass die Gleichung $\begin{eqnarray} \langle\nabla f(p),v\rangle = \mathrm df(p)(v) \end{eqnarray}$ für jeden Vektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ erfüllt sein soll und sprechen vom Gradient von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ am Punkt $\begin{eqnarray} p. \end{eqnarray}$ Nichts hiervon ist per se transponierbar. Transponierbar ist ein Vektor des Koordinatenraums $\begin{eqnarray} \mathbb R^2, \end{eqnarray}$ der dazu noch als Matrix des Matrizenraums $\begin{eqnarray} \mathbb R^{2\times 1} \end{eqnarray}$ aufgefasst werden muss.
03.12.2022, 13:10	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, lieben Dank für eure Antworten. Anscheinend ist es bei uns auch so, dass es jeh nach Lust und Laune entschieden wird ob der Gradient Zeilen oder Spaltenvektor ist. Grüße, e. HiBee
03.12.2022, 14:29	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Gradient ist ein Vektor. Insofern wird dieser bzw. dessen Koordinatenvektor bezüglich einer Basis als Spaltenvektor geschrieben. Der Index einer Komponente des Spaltenvektors steht oben. Der Index eines Basisvektors steht unten. Die totale Ableitung ist ein Kovektor (eine Linearform). Insofern wird diese bzw. deren Koordinatenvektor bezüglich der dualen Basis als Zeilenvektor geschrieben. Der Index einer Komponente des Zeilenvektors steht unten. Der Index eines dualen Basisvektors steht oben. Man kann die totale Ableitung per Definition einfach so auf einen Vektor anwenden und bekommt eine Zahl (die Richtungsableitung). Beim Gradient geht das nicht. Vielmehr muss eine Bilinearform (das Skalarprodukt) auf den Gradient und den Vektor angewendet werden, um eine Zahl (die Richtungsableitung) zu erhalten.
04.12.2022, 18:10	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Danke für die Klarstellung.
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