Beschränktheit zeigen

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Beschränktheit zeigen
Meine Frage:
Hallo zusammen, ich habe die folgende Aufgabe (siehe Bild)

Meine Ideen:
(a) Ist nach unten beschränkt mit Su=1 und nach oben mit So= 3

(b) Su= -1,2 und So= 0

(c) Su=2


Wie kann ich das aber beweisen?

Bei der a) würde ich so vorgehen:




An diesem Term kann man nun gut erkennen, dass die Untergrenze durch 1 gegeben ist und die Obergrenze durch 3, weil der größte Wert für den Bruch ist nun mal 2, daher 1+2=3.

Wie kann ich aber die b) und c) zeigen ..?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränktheit zeigen
Wenn man das entsprechende Grenzverhalten gebrochen rationaler Funktionen kennt, sieht man sofort, welche Grenzen der Folgen sich langfristig einstellen oder auch nicht. Danach kann man seinen Prüfungsansatz ausrichten.
Ich würde daher bei a) und b) zeigen, dass die Folgen (ab einem bestimmten ) monoton sind und dann eine vermutete Grenze nicht über-/unterschreiten.
Bei c) würde ich einfach eine Abschätzung per Ungleichung für die Folgenvorschrift selbst abgeben.

Generell würde ich allerdings vermeiden, solche Umformungen zu verwenden, bei denen neue gebrochene Folgen entstehen, deren Beschränktheit man nicht ohne weiteres voraussetzen darf. D. h. als bekannt sollte zunächst nur gelten, dass über alle Maßen wächst.
Helpme21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränktheit zeigen
Oh okay. Jetzt habe ich zwei Fragen:

1) Könntest du mir für die b) zeigen, wie du das meinst, mit der Monotonie?

2) Verstehe ich das richtig, dass die Aufgabenstellung eigentlich nicht fordert, dass man die Beschränktheit beweist? Theoretisch gesehen reicht das eigentlich aus, wenn man mit dem Taschenrechner zahlen in die Folgen einsetzt und auf diese Weise die Ober und Untergrenze bestimmt, oder?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränktheit zeigen
1)
Man kann sich die ersten paar Folgenglieder mal anschauen und stellt fest, dass diese ab dem Startwert (streng) monoton wachsen.
Damit habe ich

untersucht.

Unsere Vermutung ist, dass die Folge einen Wert nicht überschreitet. Also

Die obere Schranke solltest Du jetzt geeignet wählen. Zu beachten ist, dass die Aufgabe eine (obere) Schranke verlangt. Es muß also nicht unbedingt die kleinste obere Schranke sein, sollte es aber idealerweise.

2)
Da wir im Hochschulbereich sind, kann ich mir kaum vorstellen, dass Einsetzen in den Taschenrechner den Anforderungen genügt. Die Aufgabe ist zwar knapp formuliert, aber dahinter steckt doch sicher mehr Stoff aus der Vorlesung, den man jetzt anwenden soll.
Ich glaube auch nicht, dass hier Schranken in beide Richtungen gesucht sind. Die Beschränktheit ist eigentlich nur interessant für .
helpme21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränktheit zeigen
Ahh okay, dann kann ich ja für jede Teilaufgabe immer den Grenzwert bestimmen.

(a)

Für n=3 gilt: . Für gilt

. Daher ist die Obergrenze 3 und die Untergrenze gleich 1.

(b) . Für n=3 gilt . Für gilt



Das bedeutet die Untergrenze ist -1,2 und die Obergrenze ist gleich 0.


(c) Hier ist die Untergrenze 2 und die Obergrenze unbeschränkt. Aber wie kann ich zeigen, dass

gilt?

Durch Umformung erhalte ich:


, aber hier darf ich ja jetzt die lim Rechenregel nicht anwenden, da nicht beide Teilfolgen konvergieren verwirrt
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränktheit zeigen
Da Du die Grenzwertberechnung schon anwendest, kannst Du bei c) natürlich auch passend kürzen, so dass der Rest weiterhin gegen Unendlich geht.
Im Zusammenhang mit Folgen würde ich andererseits abschätzen
 
 
Helpme3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränktheit zeigen
Geht das auch so?:


klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränktheit zeigen
Wenn es > 1 ist, heißt das noch nicht, dass es nicht eine andere obere Schranke > 1 gibt.
Wir haben es hier mit einer Folge, nicht Reihe zu tun!
Ich wollte Dich eigentlich auf

lenken.
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