Bild komplexe Abbildung

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Bild komplexe Abbildung
Meine Frage:
Wie bestimme ich das Bild einer komplexen Abbildung? Für reelle Zahlen schaue ich mir ja einfach den Plot der Funktion an und schaue, was auf der y-Achse steht. Aber wie mache ich das für komplexwertige Funktionen?

Beispiel: Gesucht ist das Bild der Abbildung z -> 1/z der Menge A={z in C: Im(z)>1/2}

Meine Ideen:
Ich habe irgendwie keine Idee dazu. Die Menge A bekomme ich ja noch gezeichnet in der komplexen Zahlenebene. Aber wie mache ich das für die Bildmenge? Ich stehe irgendwie auf dem Schlauch.
Wenn ich die Funktion f(x,y) = 1/(x+iy) zeichne, kann sie doch theoretisch jeden Wert annehmen, weil x beliebig ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gute Frage . Viele gute Antworten darauf gibt das Buch von Tristan Needham "Anschauliche Funktionentheorie". Viele Beispiele gibt es bei GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/m7twpuhs
komplexe Funktion Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Das klingt ja sehr gut, bringt mich aber nicht weiter, da ich das Buch nicht schnell genug auftreiben kann. Und den Inhalt des GeoGebra Artikels verstehe ich auch nicht.
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild komplexe Abbildung
du zeichnest ein zweites Koordinatensystem, nimmst dir im Definitionsbereich der Funktion spezielle Kurven, das können die Parallelen zu den Koordinatenachsen sein, andere Geraden, Kreise oder was auch immer für deinen speziellen Fall geeignet ist.
Dann zeichnest du das Bild einer dieser Kurven in das zweite Koordinatensystem. Nimmst die nächste Kurve, machst das gleiche und so fort.
Genau das passiert auf der Geogebra-Seite. Die Punkte a,b,c kann man dort übrigens verschieben und damit das Gitter variieren, das abgebildet wird. a,b,c werden auf Ta,Tb,Tc abgebildet. Die Gerade durch a und b also auf ?

Allerdings würde ich wegen ohnehin keine Geraden betrachten.
Edit: Zumindest nicht im ersten Anlauf.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild komplexe Abbildung
Es gibt viele Möglichkeiten, bestimmte Aspekte einer komplexen Funktion zu visualisieren. Neben den von URL angesprochenen Möglichkeiten kann man z.B. Kontourkurven für bestimmte Größen zeichnen. Im Folgenden ist das für den Betrag, den Realteil und den Imaginärteil von gemacht. Besonders instruktiv ist oft ein 3D-Plot, bei dem der Betrag die z-Koordinate ist und das Argument der Funktionswerte (die Winkelkoordinate) durch Farben gekennzeichnet ist (letztes Bild). Für all das braucht man ein geeignetes Programm.

[attach]56175[/attach]
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Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Helfer

Es ist nicht die Aufgabe, die komplexe Kehrwertabbildung zu visualisieren, sondern das Bild der Halbebene aller mit unter der komplexen Kehrwertabbildung zu bestimmen.


@ Komplexe Funktion

Es kommt auf deine Vorkenntnisse an. Wenn man weiß, daß Möbius-Transformationen, und die Kehrwertfunktion ist eine solche, Kreise auf Kreise abbilden (wobei Geraden als Kreise durch den unendlichen fernen Punkt angesehen werden), ist die Sache schnell erledigt. Kreise sind nämlich durch drei Punkte bestimmt.

Wir betrachten den topologischen Rand von , also die Gerade aller mit . Sie geht durch die Punkte . Die Bilder dieser Punkte unter der Abbildung sind . Offenbar liegen diese drei Punkte auf dem Kreis um vom Radius 1. Damit ist das Bild von unter . Da stetige Abbildungen den Zusammenhang erhalten, müssen wir jetzt noch einen Punkt mit verfolgen. Da könnte man nehmen. Das Bild von unter ist , was im Innern von liegt.

Das Bild der Halbebene ist also das Innere des Kreises um vom Radius 1.


So könnte man mit Hilfe von Möbius-Transformationen argumentieren. Jetzt vermute ich aber, daß du das noch nicht kennst. Dann setzt du am besten kanonisch an und ersetzt in der Ungleichung



die Variable durch (Letzteres erhält man, wenn man nach auflöst). Berechne den Imaginärteil des Ausdrucks und bringe die reelle Ungleichung in , die du erhältst, auf eine angenehme Gestalt. Da du das Ergebnis bereits kennst, ahnst du vielleicht, worauf du hinarbeiten mußt.
 
 
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