Bijektive Selbstabbildung auch Surjektiv |
| 01.11.2022, 09:12 | ResolvingMaths | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Bijektive Selbstabbildung auch Surjektiv Hallo an alle, Ich habe eine Frage zum Ansatz für eine Aufgabe, bei der ich einfach keinen Richtigen finde. Die Aufgabe lautet wie folgt: Sei M eine Menge und f : M ? M eine (Selbst-)Abbildung. Zeigen Sie: Ist M endlich, so ist f genau dann surjektiv, wenn f bijektiv ist. Meine Ideen: Wie gesagt habe ich keinen wirklichen Ansatz. Ich habe versucht die Aussage damit zu zeigen, dass die Abbildung injektiv ist, woraus folgen sollte, wenn f bijektiv, dass f auch surjektiv, aber ich hänge an dem 'genau dann'. Ich bedanke mich schonmal für eure Antworten oder Hilfestellungen 
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| 01.11.2022, 11:06 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jede bijektive Abbildung ist injektiv und surjektiv, also ist nur zu zeigen, dass jede surjektive Selbstabbildung einer endlichen Menge injektiv ist. Annahme : M endlich und f:M-->M nicht injektiv. Zeige f nicht surjektiv. Dann bist du fertig. (Überlege, warum das logisch ist.) |
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| 01.11.2022, 21:39 | TryingToUnderstand | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank erstmal für deine Antwort
(Ich war noch weg, deswegen dauerte meine etwas)Zu deiner Annahme: Also rein logisch betrachtet macht deine Annahme Sinn. Haben wir z.B die Menge {1,2,3,4,5} und sagen sie ist nicht injektiv, also z.B. die 4 bei: dann folgt, dass mindestens ein v gibt, dass keinem u zugeordnet wird, also die Funktion nicht surjektiv wäre. Mein Problem ist hier aber eher, das Logische als korrekten Beweis zu formulieren, sodass es für alle endliche Mengen gilt 
. Vielleicht könnest du mir damit weiterhelfen. |
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| 01.11.2022, 22:03 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast ein kleines Problem, weil du noch nicht weißt, was eine Funktion ist und was eine injektive Funktion ist. In deinem Beispiel ist der 3 sowohl die 3 als auch die 4 zugeordnet. Das geht gar nicht. Eine Funktion ordnet jedem Element genau ein Element zu, d.h. ein und nur ein Element. Nicht injektiv heißt nicht, dass u ungleich v ist sondern nicht folgt, dass u gleich v ist, wenn f(u)=f(v). Annahme f nicht injektiv, dann haben zwei verschiedene Elemente dasselbe Bild f(u)=f(v). Dann sind nicht mehr genug Urbilder da, um jedem Element der Zielmenge ein Bild zuzuordnen, also f nicht surjektiv. Jetzt kommt die Logik. f nicht injektiv, dann f nicht surjektiv. Das ist logisch aequivalent zu: f surjektiv, dann f injektiv. Also surjektiv und injektiv, also bijektiv. QUOD ERAT DEMONSTRANDUM Lerne fleißig weiter, dann kommst du irgendwann auf einen grünen Zweig. |
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