Teilmenge von Bildern |
| 01.11.2022, 14:51 | Fraenki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Teilmenge von Bildern Sei $f\colon X\to Y$ eine Abbildung zwischen zwei Mengen $X$ und $Y$. Zeige, dass für Teilmengen $A,B\subset X$ Folgendes gilt: $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$. Gilt auch Gleichheit oder gibt es ein Gegenbeispiel? Meine Ideen: Also erstmal setz ich voraus, dass $A\cap B\neq\emptyset$ (denn sonst ist $f(A\cap B)=\emptyset$ und die Aussage gilt sowieso). Es gilt $$ f(A)\cap f(B)=\begin{cases}f(A), & f(A)=f(B)\\f(A)m & f(A)\subset f(B)\\f(B), & B\subset A\end{cases} $$ Aber da $A\cap B\subset A$ und $A\cap B\subset B$, gilt auch $f(A\cap B)\subset f(A)$ und $f(A\cap B)\subset f(B)$, d.h. die Aussage gilt in jedem Fall. Als Gegenbeispiel für Gleichheit nehme ich $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x):=x^2$ und $A:=[-2,0), B:=[0,2]$. Dann gilt doch für $x=4$: $x\in f(A)\cap f(B)$, da $4=f(-2)=f(2)$, aber $A\cap B=\emptyset$ und somit $x\notin f(A\cap B)=\emptyset$. Stimmt es? |
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| 01.11.2022, 15:42 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
...und somit auch . Alles andere (bis auf das Beispiel für mögliche Ungleichheit) ist an sich überflüssig. |
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