Beweis von Invertierbarkeit

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mawaruhe Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von Invertierbarkeit
Meine Frage:
Ich muss folgende Aufgabe bearbeiten:

Sei A eine beliebige invertierbare Matrix. Beweisen oder widerlegen sie folgende Behauptungen:
a) A^2 ist invertierbar
b) A*A^T ist invertierbar
c) A + A^T ist invertierbar


Meine Ideen:
Zu a) und c) glaube ich, habe ich einen ganz guten Ansatz. Bei b) macht mir meiner Meinung nach die fehlende Kommutativität einen Strich durch die Rechnung.
E=Einheitsmatrix

a) A*A^-1= E
A*A^-1*A= E*A
A*A*A^-1= E*A mit A*A^-1=A^-1*A
A*A*A^-1*A^-1= E
A^2*(A^-1)^2=E
A^2*(A^2)^-1=E

b) A*A^-1=E
A*A^-1*A^T=E*A^T
A*A^-1*A^T*(A^T)-1=E
A*AT* A-1* (AT)-1=E
A*AT* (A*AT)-1=E

c) Widerspruch durch Gegenbeispiel:
siehe Anhang, komme leider noch nicht mit LaTeX zurecht...

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe
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RE: Beweis von Invertierbarkeit
bei b) schreibst du mal hemdsärmlig . Warum existiert diese Inverse? Wenn du das begründen kannst, bist du sowieso fertig.
Soweit ich den Rest entziffern konnte, stimmt das.
mawaruhe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Invertierbarkeit
Erstmal vielen Dank fürs drüberschauen.
Ich bin bei b) davon ausgegangen, dass die Transponierte Matrix einer invertierbaren Matrix, ebenfalls invertierbar ist (muss ich das noch beweisen oder kann man sowas alles feststehend verwenden?).
Hätte gedacht, dass folgender Schritt das Problem ist:
A*A^-1*A^T*(A^T)-1=E
A*A^T* A^-1* (A^T)^-1=E
Also das vertauschen von A^-1 und A^T, oder darf ich das machen?
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RE: Beweis von Invertierbarkeit
Nein, einfach so darfst du die Matrizen und nicht vertauschen. Es ist aber auch überhaupt nicht nötig. Wenn die Invertierbarkeit von geklärt ist - und das ist sie nicht per se - dann betrachte doch einfach .

Wenn dir die Invertierbarkeit von klar ist, dann schreib die Begründung auf. Sie ist kurz. Wenn es dir nicht klar ist... smile
mawaruhe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Invertierbarkeit
Also Beweis für das Inverse der transponierten Matrix hätte ich folgendermaßen gemacht:
A^T*(A^-1)^T=(A^-1*A)^T=E^T=E

Und ich seh auch, dass aus
(A*A^T)*(A^T)^-1*A^-1
(A*A^T)*(A*A^T)^-1
wird.

Komm aber nicht darauf, wie du auf den Ansatz kommst, dass das die Einheitsmatrix ist...
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RE: Beweis von Invertierbarkeit
Invertierbarkeit von sauber gezeigt Freude
Nachdem das gezeigt ist, ist das Produkt wohldefiniert. Das muss man jetzt nur von innen nach außen ausmultiplizieren (Assoziativgesetz!) und landet bei der Einheitsmatrix und damit ist dann auch invertierbar.
 
 
mawaruhe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Invertierbarkeit
Häng leider immer noch beim Zusammenfügen von allen Informationen...

Mit den bisherigen Nachweisen habe ich folgenden Ansatz
A*A^-1=A^T*(A^-1)^T
A*A^-1*A^T=A^T
A*A^-1*A^T*(A^-1)^T=E

Und dann komm ich nicht weiter.
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RE: Beweis von Invertierbarkeit
Also erstmal wäre es wirklich angebracht, dass du Latex verwendest. Klick in einem meiner Beträge auf "zitat" und du findest die Formeln zwischen den latex-Tags. So sind deine Beiträge einfach furchtbar zu lesen unglücklich

Zweitens verstehe ich überhaupt nicht, was du da treibst. Es geht doch um den Nachweis, dass invertierbar ist, richtig?
Ich habe dir explizit die Inverse angegeben, nämlich . Alles was du tun musst, ist das Produkt
auszurechnen. Nach dem Assoziativgesetz ist das nichts anderes als
Fertig.
mawaruhe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis von Invertierbarkeit
Danke, jetzt ist der Knoten geplatzt
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RE: Beweis von Invertierbarkeit
Hurra Big Laugh
Übrigens warst du am 3.11.2022 um 16:46 schon fertig. Du hast als letzten Term notiert. Das ist zweifellos das Produkt der Matrix mit ihrer Inversen, also die Einheitsmatrix
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