Vektoren finden

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Delta2 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren finden
Meine Frage:
Hallo

Ich habe eine 3x3 Matrix A und folgende Gleichungen




Für die Vektoren hat man


Mich würde interessieren ob es für die Vektoren noch weitere Lösungen gibt

Viele Grüße





Meine Ideen:
Ich habe bisher nichts gefunden
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren finden
Aus den gegebenen Vektoren und den gegebenen Gleichungen ergibt sich eindeutig die Matrix . Mit dieser Matrix und den gegebenen Gleichungen kann man die Vektoren als Unbekannte betrachten. Mein CAS sagt, dass das Gleichungssystem dann nicht eindeutig lösbar ist. Man kann z. B. beliebig wählen. Das Gleichungssystem ist dann mit









erüllt.
Delta2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Mein CAS sagt, dass das Gleichungssystem dann nicht eindeutig lösbar ist.

Danke für die Antwort
Die Matrix hat ja 2 besondere Eigenschaften. Sie ist symmetrisch und hat einen doppelten Eigenwert
Ob das eine Rolle spielt bei der Lösbarkeit?

Zitat:
Original von Huggy
Man kann z. B. beliebig wählen. Das Gleichungssystem ist dann mit









erüllt.

Das erschließt sich mir ehrlich gesagt nicht so ganz

Ich hab nochmal ein Gleichungssystem hingeschrieben
Die Matrix heißt jetzt M





v1,v2 und v3 ist die Standartbasis. Siehe oben

Was muss ich jetzt machen um alternative Vektoren w1,w2 und w3 zu finden?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Delta2
Ich hab nochmal ein Gleichungssystem hingeschrieben
Die Matrix heißt jetzt M





v1,v2 und v3 ist die Standartbasis. Siehe oben

Ich weiß nicht, weshalb du die Bezeichnung wechselst und was jetzt sein sollen. Ich bleibe mal bei obigem Gleichungssystem:

Zitat:



Da ergibt sich die Matrix zu



Jetzt kannst du genau das machen, was ich geschrieben habe. Wähle beliebig, z. B.



Wähle und beliebig, z. B: und. Es ergibt sich nach meiner Formel , also



Für ergeben meine Formeln



Auch mit diesen Vektoren ist





erfüllt.
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Ein paar theoretische Überlegungen zu dem Problem, auch wenn sie nicht unmittelbar zur Lösung beitragen. Wie Huggy bleibe auch ich bei der ursprünglichen Form der Aufgabenstellung.
Ist die Matrix mit den Spalten , dann schreibt sich das Gleichungssystem als .
ist nach Voraussetzung eine Lösung, damit kennen wir A. Gesucht sind also allem Anschein nach alle Matrizen , die erfüllen, also mit kommutieren. Diese Matrizen bilden einen Unterraum von . Wegen der Symmetrie von gehört mit einer Matrix auch zu .
Weiter wird mit allgemeinen Betrachtungen nicht kommen, weil alles bisher gesagte auch für den Fall gelten würde, dass A ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist - und also mit allen Matrizen kommutiert.
Die Eigenwerte von mit Vielfachheit sind übrigens -3,3,3, zugehörige EV (-2,1,1), (1,2,0), (2,-1,5).

Edit: Muss dann nicht V die Eigenräume von A invariant lassen? Das würde auf eine Blockstruktur der Art mit fünf Freiheitsgraden führen.
Delta2 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten
Ich hatte etwas vergessen zu erwähnen
Die neuen Vektoren sollten auch wieder jeweils senkrecht aufeinander stehen
Aber jetzt mit den Hinweisen kann ich alleine weitersuchen
 
 
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Das sollte sich doch von selbst ergeben, wenn man in der Blockmatrix die Spalten orthogonal wählt.
Die Blockmatrix wird dann mit der Matrix aus Eigenvektoren von A konjugiert und die kann man also Orthogonalmatrix wählen.
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