Diagonalisierbare Matrix mit Eigenwerten -1 oder 1 orthogonal? |
| 02.11.2022, 08:59 | Lena2793 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Diagonalisierbare Matrix mit Eigenwerten -1 oder 1 orthogonal? Ich habe Probleme beim Beweis/ der Widerlegung folgender Aussage: Eine diagonalisierbare Matrix, die höchstens die Eigenwerte 1 oder -1 besitzt, ist orthogonal. Meine Ideen: Mein Problem ist, ob in der Aussage der Fall, dass A sowohl den Eigenwert -1 als auch den Eigenwert 1 besitzt, eingeschlossen ist. In dem Fall hätte ich ein Gegenbeispiel gefunden. Soll aber der Eigenwert nur entweder 1 oder -1 sein, dann müsste die Aussage stimmen, oder? Ich verstehe also die Aussage selbst nicht ganz. |
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| 11.04.2026, 13:19 | yogibär | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ist falsch. Hey hier merkste mal, was das aus macht, dass ich ein alter Quantenmechaniker von echtem Schrot und Korn bin - siehe Eugen Fick. Jede unitäre Matrix U lässt sich schreiben als U = exp ( i H ) ( 1 ) mit H Hrmitesch. Mir fällt aber schon seit Jahrzehnten quälend auf das Herz, dass ich für diese Behauptung nicht den leisesten Beweis besitze. Nicht jede diagonalisierbare Matrix ist ja Hermitesch. Und unitäre haben mit Hermiteschen Operatoren genau das gemeinsam, dass Eigenräume zu verscb. Eigenwerten aufeinander senkreht stehen müssen. Seien x und y zwei solche Eigenvektoren. < x | y > = < U x | U y > ( 2 ) wegen Unitarität < U x | U y > = < E_x x | E_y y > = ( 3a ) = E_x * E_y < x | y > ( 3b ) Es kommt ja dazu - siehe ( 1 ) - dass die Eigenwerte eines unitären Operators alle auf dem Einheitskreis liegen ( vom Betrag 1 sind ) D.h. so bald E_x und E_y verschieden, muss das Skalarprodukt verschwinden. |
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