Archimedisches Axiom

02.11.2022, 20:15

haro21

Archimedisches Axiom

Meine Frage:
Hallo zusammen, gegeben ist die folgende Aufgabe (siehe Bild)

Ich habe auch die Lösung dazu von meinem Dozenten, allerdings bin ich der Meinung, dass die Lösung (b) falsch ist.

Meine Ideen:
Ich finde die Argumentation mit dem Archimedischen Axiom falsch. Das Archimedische Axiom setzt doch voraus, dass

$\begin{eqnarray*} K>x>0 \end{eqnarray*}$ gilt denn genau dann existiert ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , sodass

$\begin{eqnarray*} n x >K \end{eqnarray*}$ gilt.

Wie kommt man bitte auf $\begin{eqnarray*} nx >K-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nach der Aufgabenstellung,

02.11.2022, 21:02

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RE: Archimedisches Axiom
Wenn $\begin{eqnarray*} x\geq K-1 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist doch allemal $\begin{eqnarray*} 2x > K-1 \end{eqnarray*}$ . Da braucht es keinen Archimedes.
Für den anderen Fall schon.

02.11.2022, 21:42

Harro21

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RE: Archimedisches Axiom
Ich verstehe deine Aussage, aber ich verstehe nicht, was ich damit anfangen soll.

Wieso nimmst du an, dass x >= K-1 ist? Und welchen anderen Fall meinst du?

02.11.2022, 21:58

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RE: Archimedisches Axiom
Ich nehme gar nichts an. Es gibt nur zwei Möglichkeiten. Entweder ist $\begin{eqnarray*} x\geq K-1 \end{eqnarray*}$ oder es ist $\begin{eqnarray*} x<K-1 \end{eqnarray*}$

02.11.2022, 22:38

haro21

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RE: Archimedisches Axiom
Okay. Ich glaube ich habs jetzt, dank dir.

Wir betrachten zwei Fälle

1. Fall $\begin{eqnarray*} x \geq K-1 \end{eqnarray*}$

In diesem Fall gilt

$\begin{eqnarray*} b^n \geq 1+ nx \geq 1+x \geq 1+K-1=K \end{eqnarray*}$ .

2. Fall $\begin{eqnarray*} 0 < x < K-1 \end{eqnarray*}$

Nach dem Archimedischen Axion existiert ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , sodass

$\begin{eqnarray*} nx > K-1 \end{eqnarray*}$ gilt. Daher folgt

$\begin{eqnarray*} b^{n} \geq 1+nx > 1+ K-1=k \end{eqnarray*}$ .

Passt das jetzt so besser?

02.11.2022, 23:34

Malcang

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Ich möchte hier nicht dazwischengrätschen. Aber bevor ich ins Bett gehe will ich noch folgenden Gedanken loswerden:
Es ist $\begin{eqnarray*} b^n = (b-1+1)^n \end{eqnarray*}$ . Man kann also die Bernoulli-Ungleichung anwenden mit $\begin{eqnarray*} b^n = ( (b-1) + 1)^n \geq 1+(b-1)\cdot n \end{eqnarray*}$ . Dies führt auf die Betrachtung $\begin{eqnarray*} (b-1)\cdot n > K. \end{eqnarray*}$

03.11.2022, 09:23

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RE: Archimedisches Axiom
@haro21: Ja besser. Wobei du im ersten Fall noch auf die Feinheit achten muss, dass man $\begin{eqnarray*} b^n>K \end{eqnarray*}$ zeigen soll und nicht nur $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ . Im Grunde ist das Firlefanz smile

03.11.2022, 10:35

Haro211

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RE: Archimedisches Axiom
Das heißt ich würde deine obige Abschätzung verwenden, also

1. Fall $\begin{eqnarray*} x \geq K-1 \end{eqnarray*}$ , daher gilt auch $\begin{eqnarray*} 2x \geq K-1 \end{eqnarray*}$

In diesem Fall gilt

$\begin{eqnarray*} b^n \geq 1+ nx > 1+2x \geq 1+K-1=K \end{eqnarray*}$ .

Stimmts?

03.11.2022, 11:19

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RE: Archimedisches Axiom

Zitat:

1. Fall .....

also einfach n=2. Fertig

03.11.2022, 12:38

Haro211

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RE: Archimedisches Axiom

Zitat:

Original von Haro211
Das heißt ich würde deine obige Abschätzung verwenden, also

1. Fall $\begin{eqnarray*} x \geq K-1 \end{eqnarray*}$ , daher gilt auch $\begin{eqnarray*} 2x \geq K-1 \end{eqnarray*}$

In diesem Fall gilt

$\begin{eqnarray*} b^n \geq 1+ nx > 1+2x \geq 1+K-1=K \end{eqnarray*}$ .

Stimmts?

Habe gerade bemerkt, dass die Ungleichung, die ich aufgeschrieben habe nicht für alle n Element N gilt.. Wie meinst du das mit einfach n=2?

03.11.2022, 12:56

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RE: Archimedisches Axiom
Die muss doch überhaupt nicht für alle n gelten! Aufgabentext "..gibt es zu jedem K ein n"
Im Fall $\begin{eqnarray*} x\geq K-1 \end{eqnarray*}$ tut es $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ . Fertig....falls, ja falls $\begin{eqnarray*} K-1>0 \end{eqnarray*}$ ist, das hatte ich tatsächlich übersehen. Asche auf mein Haupt.
Aber angesichts der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} b>1 \end{eqnarray*}$ ist ohnehin $\begin{eqnarray*} b^n>1 \end{eqnarray*}$ gewährleistet, also muss man sich um den Fall $\begin{eqnarray*} K\leq 1 \end{eqnarray*}$ überhaupt nicht kümmern, bzw. in dem Fall geht n=1.

Im Grunde hat man damit drei Fälle
$\begin{eqnarray*} K\leq 1: n=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\geq K-1>0: n=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K-1>x : \end{eqnarray*}$ Archimedische Axiom

03.11.2022, 13:28

haro31

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RE: Archimedisches Axiom
Eigentlich kann man doch Fall 2 und 3 gemeinsam behandeln.

Wenn $\begin{eqnarray*} x, K-1 >0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt nach Arch. $\begin{eqnarray*} nx > K-1 \end{eqnarray*}$ . Damit gilt

$\begin{eqnarray*} b^{n}= (x+1)^n \geq 1+ nx > 1+ K-1=K \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} K-1\leq 0 \end{eqnarray*}$ gilt mit $\begin{eqnarray*} nx >0 \geq K-1 \end{eqnarray*}$ ebenfalls

$\begin{eqnarray*} b^{n}= (x+1)^n \geq 1+ nx > 1+ K-1=K \end{eqnarray*}$ .

So müsste doch alles passen oder?

03.11.2022, 13:34

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RE: Archimedisches Axiom
Du hast dich doch eingangs auf die Bedingung

Zitat:

$\begin{eqnarray*} K>x>0 \end{eqnarray*}$ gilt denn genau dann existiert ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass

für das Archimedische Axiom kapriziert, nicht ich smile

Aus meiner Sicht ist die Sache jetzt erledigt.

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