Ableitung nach Vektor bzw. Matrix

03.11.2022, 00:12

phasefieldguy

Ableitung nach Vektor bzw. Matrix

Wie kann ich nach einem Vektor bzw. einer Matrix ableiten? Und viel wichtiger: Wie kann ich mir das vorstellen?

In meinem Beispiel weiß ich auch nicht, ob dann nur nach Gradient, oder auch nach Zeitableitung ( $\begin{eqnarray*} \dot{d} \neq d \end{eqnarray*}$ ) des Gradient und Variable selbst abgeleitet werden soll. Mein Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \partial_{\nabla \dot{d}} \left[ (\dfrac{g_c}{l}d) \dot{d} + \left( g_c l \nabla d\right) \nabla \dot{d} + \dfrac{\varepsilon}{2} \vert \dot{d} \vert ^2 \right] \end{eqnarray*}$
... für d(x,t) mit $\begin{eqnarray*} d: \begin{cases} \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} & \rightarrow [0,1] \\ (x,t) & \mapsto d(x,t) \end{cases} \end{eqnarray*}$

03.11.2022, 06:04

Ulrich Ruhnau

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RE: Ableitung nach Vektor bzw. Matrix

Zitat:

Original von phasefieldguy
Wie kann ich nach einem Vektor bzw. einer Matrix ableiten?

Es gibt in der Mathematik nur die Ableitungen nach einzelnen Variablen. Man kann dann noch zwischen partiellen und totalen Ableitungen unterscheiden. Ableitungen nach einer Matrix gibt es nicht. Das Einzige, was in diese Richtung geht, ist die Jakobimatrix.

03.11.2022, 09:20

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RE: Ableitung nach Vektor bzw. Matrix
Hat man eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:E\to F \end{eqnarray*}$ mit zwei normierten Räumen $\begin{eqnarray*} E.F \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0\in E \end{eqnarray*}$ , dann kann sich immer fragen, ob man die Differenz $\begin{eqnarray*} f(x_0+h)-f(x_0) \end{eqnarray*}$ bis auf auf einen kleinen Fehler linearisieren kann. Wenn das geht, nennt man die lineare Abbildung die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ein Raum von Matrizen, dann hat man $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nach einer Matrix abgeleitet.

Ein Beispiel: $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sei eine $\begin{eqnarray*} n\times k \end{eqnarray*}$ Matrix und $\begin{eqnarray*} b\in \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^k\to \mathbb R ^n, x\mapsto Ax+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0\in \mathbb R^k \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f(x_0+h)-f(x_0)=Ah \end{eqnarray*}$ .
Die Abbildung $\begin{eqnarray*} h\mapsto Ah \end{eqnarray*}$ ist linear, also wird man sie als Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bezeichnen.
Sie hängt nicht von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ab. Die Ableitung der affin linearen Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist also eine Konstante. Mehr kann man nicht erwarten.

Warum dieses Beispiel? Nach meinem Verständnis ist
$\begin{eqnarray*} \nabla \dot{d} \mapsto \left[ (\dfrac{g_c}{l}d) \dot{d} + \left( g_c l \nabla d\right) \nabla \dot{d} + \dfrac{\varepsilon}{2} \vert \dot{d} \vert ^2 \right] \end{eqnarray*}$ eben eine affin lineare Funktion.

Edit: Das nennt sich übrigens Frechet-Ableitung

03.11.2022, 09:39

Ulrich Ruhnau

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RE: Ableitung nach Vektor bzw. Matrix

Zitat:

Original von URL
Hat man eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:E\to F \end{eqnarray*}$ mit zwei normierten Räumen $\begin{eqnarray*} E.F \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0\in E \end{eqnarray*}$ , ... Ist $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ein Raum von Matrizen, dann hat man $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nach einer Matrix abgeleitet.

Ein Beispiel: $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sei eine $\begin{eqnarray*} n\times k \end{eqnarray*}$ Matrix und $\begin{eqnarray*} b\in \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^k\to \mathbb R ^n, x\mapsto Ax+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0\in \mathbb R^k \end{eqnarray*}$ . ...

Das untere ist kein richtiges Beispiel für das obere, weil x ein Vektor ist und keine Matrix. Dafür stellt aber das untere Beispiel die Ableitung nach einem Vektor dar, wonach sich der Fragesteller aber auch erkundigt hat. Die Frage war aber nicht das Ob sondern das Wie. Es läuft auf eine Richtungsableitung hinaus, die man nur bekommt, wenn man f nach allen Komponenten von x ableitet. Damit sind wir beim Thema partielles Ableiten.

03.11.2022, 09:55

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RE: Ableitung nach Vektor bzw. Matrix
Ein Vektor ist natürlich auch eine Matrix.
Wie man die Ableitung bestimmen kann, habe ich auch aufgeschrieben. Wenn einem nichts anderes einfällt, betrachtet man die Differenz und sucht nach einer Linearisierung. Und nein, das hat überhaupt nichts mit der Ableitung nach Komponenten zu tun.

Wenn du dir nicht selbst ein Beispiel mit einer (echten?) Matrix konstruieren willst, hier ist eines: Seien $\begin{eqnarray*} x,b\in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^{n\times n}\to \mathbb R^n, A\mapsto Ax+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_0\in \mathbb R ^{n\times n} \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} f(A_0+H)-f(A_0)=Hx \end{eqnarray*}$ .
Die Abbildung $\begin{eqnarray*} H\mapsto Hx \end{eqnarray*}$ ist wieder linear und wieder unabhängig von $\begin{eqnarray*} A_0 \end{eqnarray*}$

03.11.2022, 09:58

phasefieldguy

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RE: Ableitung nach Vektor bzw. Matrix
Danke für die schnelle Antwort smile

Aber wird das bei der Variationsrechnung an Funktionalen nicht andauernd gemacht, sodass die Lösung des stationären Zustands ggf. auch nicht-konstante Funktionen einschließt?
Und was bedeutet das jetzt für mein Beispiel?

PS: Habe das aus Miehe, 2010: Thermodynamically consistent phase-field models..., S. 1288 (58)_2

03.11.2022, 09:59

phasefieldguy

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RE: Ableitung nach Vektor bzw. Matrix
WIe funktioniert das dann für das obere Beispiel? Und wie kann ich mir das vorstellen?

03.11.2022, 10:17

phasefieldguy

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RE: Ableitung nach Vektor bzw. Matrix

Zitat:

Original von URL

Ein Beispiel: $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sei eine $\begin{eqnarray*} n\times k \end{eqnarray*}$ Matrix und $\begin{eqnarray*} b\in \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^k\to \mathbb R ^n, x\mapsto Ax+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0\in \mathbb R^k \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f(x_0+h)-f(x_0)=Ah \end{eqnarray*}$ .
Die Abbildung $\begin{eqnarray*} h\mapsto Ah \end{eqnarray*}$ ist linear, also wird man sie als Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bezeichnen.
Sie hängt nicht von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ab. Die Ableitung der affin linearen Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist also eine Konstante. Mehr kann man nicht erwarten.

Warum dieses Beispiel? Nach meinem Verständnis ist
$\begin{eqnarray*} \nabla \dot{d} \mapsto \left[ (\dfrac{g_c}{l}d) \dot{d} + \left( g_c l \nabla d\right) \nabla \dot{d} + \dfrac{\varepsilon}{2} \vert \dot{d} \vert ^2 \right] \end{eqnarray*}$ eben eine affin lineare Funktion.
[/URL]

Danke für die schnelle Antwort smile

03.11.2022, 10:22

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RE: Ableitung nach Vektor bzw. Matrix
Was genau willst du dir denn vorstellen? Wir reden hier über Funktionen zwischen normierten Räumen. Damit kannst du z.B. eine stetige Funktion auf einen Integraloperator abbilden. Also ich kann mir da beim besten Willen nichts mehr vorstellen. Mir hilft die Idee, eine Funktionsänderung, dargestellt durch eine Differenz, zu linearisieren.

Vielleicht hilft es dir, die Variable $\begin{eqnarray*} \nabla \dot{d} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ umzubenennen. Dann haben wir es mit der Abbildung
$\begin{eqnarray*} \varphi: w \mapsto (\dfrac{g_c}{l}d) \dot{d} + \left( g_c l \nabla d\right) w + \dfrac{\varepsilon}{2} \vert \dot{d} \vert ^2 \end{eqnarray*}$

zu tun und es ist $\begin{eqnarray*} \varphi(w+h)-\varphi(w) = (g_cl\nabla d) h \end{eqnarray*}$
Also ist die Ableitung $\begin{eqnarray*} g_cl\nabla d \end{eqnarray*}$

Zumindest in meiner Welt ist das so. Die Physiker können da durchaus eigene Vorstellungen von Notation und Inhalt haben.

03.11.2022, 10:54

phasefieldguy

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RE: Ableitung nach Vektor bzw. Matrix
Ja, habe es jetzt ganz naiv auch so abgeleitet smile

d und Gradient von d werden also wie Konstanten behandelt? Danke, das hilft mir wirklich

03.11.2022, 11:17

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RE: Ableitung nach Vektor bzw. Matrix
Das ist das schöne an diesem Kalkül, vieles ist so, wie man es gewohnt ist. smile

Dass es aber mehr kann, zeigt schon die quadratisch Form $\begin{eqnarray*} q:x\mapsto x^TAx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R^n, A\in \mathbb R^{n\times n} \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} q(x_0+h)-q(x_0)=x_0^TAh+h^TAx_0 + h^TAh \end{eqnarray*}$
Hier ist $\begin{eqnarray*} h\mapsto x_0^TAh+h^TAx_0 \end{eqnarray*}$ linear und weil $\begin{eqnarray*} \frac {h^TAh}{\|h\|}\to 0 (h\to 0) \end{eqnarray*}$ ist der lineare Teil wieder die Ableitung.
Bei symmetrischem A bekommt man sogar $\begin{eqnarray*} h\mapsto 2x_0^TAh \end{eqnarray*}$ also irgendwie auch das, was man bei einer quadratischen Funktion erwartet smile

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