Was ist Null Fakultät?

03.11.2022, 16:19	Phenix	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht, weshalb: 1! = 0!
03.11.2022, 16:45	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 1 = \Gamma(1) = 0! \end{eqnarray}$ (Formel ist klickbar)
03.11.2022, 17:03	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Der erste Grund, warum die Nullfaktorialzahl gleich eins ist, ist, dass sie laut Definition so sein sollte, was eine mathematisch korrekte Erklärung ist (wenn auch eine etwas unbefriedigende). Eine Permutation ist eine bestimmte, eindeutige Anordnung von Elementen in einer Menge. Zum Beispiel gibt es sechs Permutationen der Menge {1, 2, 3}, die drei Elemente enthält, da wir diese Elemente auf die folgenden sechs Arten schreiben können: 1, 2, 3 1, 3, 2 2, 3, 1 2, 1, 3 3, 2, 1 3, 1, 2 Man könnte diese Tatsache auch durch die Gleichung 3! = 6, die eine faktorielle Darstellung der gesamten Permutationsmenge ist. In ähnlicher Weise gibt es 4! = 24 Permutationen einer Menge mit vier Elementen und 5! = 120 Permutationen einer Menge mit fünf Elementen. Eine andere Möglichkeit, über die Fakultät nachzudenken, besteht darin, n als natürliche Zahl zu betrachten und zu sagen, dass n! die Anzahl der Permutationen für eine Menge mit n Elementen ist. Eine Menge mit zwei Elementen hat zwei Permutationen: {a, b} kann als a, b oder als b, a angeordnet werden. Dies entspricht 2! = 2. Eine Menge mit einem Element hat eine einzige Permutation, da das Element 1 in der Menge {1} nur auf eine Weise angeordnet werden kann. Damit sind wir bei der Nullfaktoriellen. Die Menge mit null Elementen wird als leere Menge bezeichnet. Um den Wert der Nullfaktorialität zu ermitteln, fragen wir: "Auf wie viele Arten kann man eine Menge ohne Elemente ordnen?" Hier müssen wir unser Denken ein wenig erweitern. Auch wenn es nichts zu ordnen gibt, gibt es eine Möglichkeit, dies zu tun. Wir haben also 0! = 1.
03.11.2022, 18:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte auch $\begin{align} 0!=0 \end{align}$ oder $\begin{align} 0!=-1 \end{align}$ oder sonstwas vereinbaren. Daß man es nicht tut, kann auf Seiten der Algebra mit dem Permanenzprinzip erklärt werden. Einmal angenommen, wir hätten $\begin{align} n! \end{align}$ für $\begin{align} n \geq 2 \end{align}$ in bekannter Weise bereits definiert, dann gilt mit dieser Definition die Beziehung $\begin{align} \text{()} \ \ (n+1)! = n! \cdot (n+1) \end{align}$ für $\begin{align} n \geq 2 \end{align}$ Will man nun, daß $\begin{align} \text{()} \end{align}$ auf für $\begin{align} n=1 \end{align}$ gilt, so muß man $\begin{align} 2! = 1! \cdot 2 \end{align}$ fordern. Da $\begin{align} 2!=2 \end{align}$ bereits festliegt, kann die obige Gleichung nur bestehen, wenn man $\begin{align} 1!=1 \end{align}$ definiert. Und nachdem dies nun auch bestimmt ist, wagt man sich an den nächsten Fall, nämlich $\begin{align} n=0 \end{align}$ , heran. Hierfür lautet $\begin{align} \text{()} \end{align}$ so: $\begin{align} 1! = 0! \cdot 1 \end{align}$ Und mit dem bereits definierten $\begin{align} 1!=1 \end{align}$ kann das nur gehen, wenn man $\begin{align} 0!=1 \end{align}$ definiert. Somit hat man jetzt $\begin{align} (n+1)! = n! \cdot (n+1) \end{align}$ für $\begin{align} n \geq 0 \end{align}$ Man hat also die neuen Fälle so definiert, daß diese Formel erhalten bleibt (Permanenzprinzip). Es stellt sich jetzt in natürlicher Weise die Frage, wie das weitergeht, also $\begin{align} n=-1, n=-2 \end{align*}$ und so weiter. Du kannst selber mal darüber nachdenken.
04.11.2022, 07:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dem Permanenzprinzip entsprechen ja generell die Festlegungen für "leere" Summen als 0 sowie leere Produkte als 1, d.h., $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^0 a_k := 0 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^0 a_k := 1 \end{eqnarray}$ . Beides mit dem Zweck, die Iterationsgleichungen $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n a_k = \left( \sum_{k=1}^{n-1} a_k \right) + a_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \prod_{k=1}^n a_k = \left( \prod_{k=1}^{n-1} a_k\right) \cdot a_n \end{eqnarray}$ auch für $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ gültig bleiben zu lassen. Die Fakultät passt da gemäß $\begin{eqnarray} n! = \prod_{k=1}^n k \end{eqnarray}$ voll ins Konzept.

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