Verlust+Verlust=Gewinn: Ein Paradoxon (Teil 1) - Seite 2

22.02.2023, 13:43	Manal3212	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie würdest du die Definition für ein faires, unvorteilhaftes und vorteilhaftes Spiel schreiben?
22.02.2023, 13:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, die Definition bezieht sich klar und deutlich auf den kumulierten Gewinn statt nur auf den asymptotischen Gewinnzuwachs - damit ist Spiel B ohne Wenn und Aber unfair. Deine Rechnung mit einer negativen Spielgebühr ist, nun ja, eher theoretischer Natur: Das Kasino muss erst noch erfunden werden, das so etwas anbietet.
25.02.2023, 18:09	Manal322	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Hal, ich hätte noch eine Frage an dich, kann man von einer deterministischen Spielreihenfolge der Spiele A und B eine Markov-Kette modellieren? Eine deterministische Spielreihenfolge könnte beispielsweise als $\begin{eqnarray} ABBABB... \end{eqnarray}$ festgelegt werden, was bedeutet, dass der Spieler das Spiel A in der ersten Runde, das Spiel B in der zweiten Runde und das Spiel B erneut in der dritten Runde spielt. Diese Abfolge wiederholt sich dann bis zur t-ten Spielrunde.
27.02.2023, 08:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Original-Prozess (bzw. der modulo 3) ist dann keine homogene, sondern nunmehr "nur" noch eine inhomogene Markov-Kette, d.h. die Ü-Matrix hängt vom Zeitpunkt ab. Da dich aber ja nur das Langfristverhalten interessiert, könntest du natürlich bei ABBABB... nur jeden dritten Zeitpunkt betrachte, und dieser Teilprozess für sich betrachtet ist dann wieder homogen Markovsch. Die Ü-Matrix wäre natürlich entsprechend aufzustellen aus denen von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Allerdings wird eine Betrachtung der Markovkettenzustände modulo 3 dann wohl nicht mehr genügen: Denn dann können wir die Sequenzen +1+1+1 = 3 und -1-1-1=-3 nicht mehr über die Zustandsänderung unterscheiden, was wir aber für die Gewinnermittlung benötigen. Auch modulo 6 reicht da offenkundig nicht, erst modulo 9 sichert wieder eindeutige Zuordnung zu der zeitlichen Gewinnentwicklung. In diesen sauren Apfel wird man dann wohl beißen müssen - diese Aufblähung von Zustandsraum und damit verbunden auch Ü-Matrix macht die Sache nicht unbedingt übersichtlicher. Aber vielleicht denke ich ja auch zu kompliziert und du hast eine einfachere Lösung für dieses neu auftauchende Problem.
02.03.2023, 15:55	Manal322	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe. Ne eine andere Idee hätte ich nicht. Eine letzte allgemeine Frage zur Interpretation der stationären Verteilung. Ist die stationäre Verteilung des kombinierten Spiels C beispielsweise $\begin{eqnarray} \pi = (\pi_0, \quad \pi_1 \quad \pi_2) \approx \left(0,35 \quad 0,239 \quad 0,411\right). \end{eqnarray}$ Kann man das dann wie folgt interpretieren: Tritt das Spiel B auf, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass der kumulierte Gewinn nicht durch drei teilbar ist $\begin{eqnarray} \pi_1 + \pi_2 \approx 0,65 \end{eqnarray}$ . Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel B_2 gespielt wird fast doppelt so hoch.
03.03.2023, 08:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese stationäre Verteilung bedeutet, dass auf lange Sicht hin zu jedem Spielzeitpunkt gilt, dass der kumulierte Gewinn mit Wkt $\begin{eqnarray} \approx 0.65 \end{eqnarray}$ nicht durch 3 teilbar ist - egal, ob nun für die nächste Runde Methode A oder B zur Anwendung kommt. Das heißt aber nicht, dass der kumulierte Gewinn NACH dieser Runde, von der wir wissen dass sie mit B gespielt wurde, auch mit dieser Wkt diese Eigenschaft zeigt - wir wissen nur, dass das mit der gemischten Strategie A,B so der Fall ist! Wenn du also die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten direkt NACH einer solchen B-Runde wissen willst, dann musst du $\begin{eqnarray} \pi'=B^T\pi \end{eqnarray}$ berechnen und dann $\begin{eqnarray} \pi'_1+\pi'_2 \end{eqnarray}$ berechnen - alles natürlich im stationären Sinne, also nach langem Spielverlauf.
Anzeige

« vorherige Seite 12

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »