Verlust+Verlust=Gewinn: Ein Paradoxon (Teil 1)

03.11.2022, 18:09

Manal11

Verlust+Verlust=Gewinn: Ein Paradoxon (Teil 1)

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich untersuche das Parrondo-Paradoxon, das folgendes behauptet:
In Bezug auf Glücksspiele steht Parrondos Paradoxon für das Phänomen, dass durch geeignete Kombinationen zweier für sich betrachtet unvorteilhafter Spiele A und B ein vorteilhaftes Spiel entstehen kann.
In Spiel A gewinnt bzw. verliert ein Spieler in jeder Runde mit gleicher Wahrscheinlichkeit einen Euro, zahlt aber eine (geringe) Spielgebühr, so dass das Spiel für ihn insgesamt unvorteilhaft ist.
In Spiel B, für das dieselbe Spielgebühr zu zahlen ist, gewinnt bzw. verliert der Spieler in jeder Runde ebenfalls einen Euro, jedoch hängt der Verlauf von Spiel B vom kumulierten Gewinn und Verlust des Spielers ab: Ist dieser durch Drei teilbar, so verliert der Spieler mit Wahrscheinlichkeit 9/10 einen Euro, entsprechend gewinnt er einen Euro lediglich mit der Wahrscheinlichkeit 1/10. Ist der bisher angesammelte Gewinn nicht durch Drei teilbar, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit 3/4 und verliert mit Wahrscheinlichkeit 1/4. Auch Spiel B ist für den Spieler unvorteilhaft. Entscheidet man nun aber vor jeder Runde durch einen Münzwurf, ob A oder B gespielt wird, so wird das kombinierte Spiel vorteilhaft für den Spieler ? vorausgesetzt die Spielgebühr überschreitet einen bestimmten Betrag nicht.

Ich möchte nun Spiel A und Spiel B zunächst mathematisch aufschreiben.

Meine Ideen:
-Spiel A (Münzspiel):
$\begin{eqnarray*} \Omega:=\{W,Z\}\text{ und } P(\{W\})=P(\{Z\})=\frac{1}{2}. \text{ Es sei außerdem } X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}\text{ die Zufallsvariable mit } X((W)=0 \text{ und } X(Z)=1, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ so beschreibt } X \text{ das Ereignis ??Zahl liegt oben??, für den Erwartungswert gilt:} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E(X)=X(W)P(\{W\})+ X(Z)P(\{Z\})=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

-Spiel B:
$\begin{eqnarray*} \text{ Es sei }\mod{G}\neq 0 \text{ und } \Omega:=\{N_{1}, N_{2}\}\text{ und } P(\{N_{1}\})=\frac{3}{4}, P(\{N_{2}\})=\frac{1}{4}. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Es sei außerdem } Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R}\text{ die Zufallsvariable mit } Y(N_{1})=1 \text{ und } Y(N_{2})=0 \text{, so beschreibt } Y \text{ das Ereignis ??} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{der günstigere Fall tritt ein??, für den Erwartungswert gilt:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(Y)=Y(N_{1})P(\{N_{1}\})+ Y(N_{2})P(\{N_{2}\})=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{ Es sei }\mod{G}\neq 0 \text{ und } \Omega:=\{N_{1}, N_{2}\}\text{ und } P(\{N_{1}\})=\frac{3}{4}, P(\{N_{2}\})=\frac{1}{4}. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{ Es sei außerdem } Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R}\text{ die Zufallsvariable mit } Y(N_{1})=1 \text{ und } Y(N_{2})=0 \text{, so beschreibt } Y \text{ das Ereignis ??} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{der günstigere Fall tritt ein??, für den Erwartungswert gilt:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(Y)=Y(N_{1})P(\{N_{1}\})+ Y(N_{2})P(\{N_{2}\})=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

edit Mathema: Zeilenumbrüche eingefügt

04.11.2022, 21:06

Manal11

Verlust+Verlust=Gewinn: Ein Paradoxon (Teil 1)

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