Lösung von DGP

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Atelier16 Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung von DGP
Meine Frage:
Seien u : [a, b] -> R^n und v : [b, c] -> R^n zwei Lösungen einer durch f beschriebenen Differentialgleichung k-ter Ordnung, für die u^(m)(b) = v^(m)(b) gilt für alle m in {0 .. k}.
Zeige, dass dann auch die verklebte Funktion w : [a, c] -> R^n mit w(t) = u(t) für t < b und w(t) = v(t) für t >= b eine Lösung der Differentialgleichung ist.

Meine Ideen:
Jetzt muss ich ja zeigen, dass für alle t in [a,c] gilt:
f (t, (w(t),w'(t),w''(t),...,w^(k)(t)))=0
Leider komme ich hierbei gar nicht weiter. Kann mich jemand auf die richtige Spur bringen ? Danke schonmal im Voraus.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Für gibt es keine Probleme: Dass dort die Funktion -mal differenzierbar ist und die DGL erfüllt, ist offensichtlich. Beides ist allerdings auch für nachzuweisen, was die eigentliche Arbeit bei dieser Aufgabe darstellt.
Atelier16 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Aber weiß ich durch u^(m)(b) = v^(m)(b) nicht bereits, dass f k-mal differenzierbar in b ist. Und wenn nein, wie könnte ich das zeigen ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die Funktion ist nur auf definiert. Der Wert kennzeichnet daher allenfalls die linksseitige -te Ableitung im Punkt . Analog sieht es bei aus, das ist nur eine rechtsseitige -te Ableitung im Punkt . Die Tatsache, dass beide existieren und gleich sind, sichert dann die Existenz der Gesamtableitung von . Was im wesentlichen der Beweis ist.
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