Lösung von DGP |
04.11.2022, 08:30 | Atelier16 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Lösung von DGP Seien u : [a, b] -> R^n und v : [b, c] -> R^n zwei Lösungen einer durch f beschriebenen Differentialgleichung k-ter Ordnung, für die u^(m)(b) = v^(m)(b) gilt für alle m in {0 .. k}. Zeige, dass dann auch die verklebte Funktion w : [a, c] -> R^n mit w(t) = u(t) für t < b und w(t) = v(t) für t >= b eine Lösung der Differentialgleichung ist. Meine Ideen: Jetzt muss ich ja zeigen, dass für alle t in [a,c] gilt: f (t, (w(t),w'(t),w''(t),...,w^(k)(t)))=0 Leider komme ich hierbei gar nicht weiter. Kann mich jemand auf die richtige Spur bringen ? Danke schonmal im Voraus. |
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04.11.2022, 08:45 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Für gibt es keine Probleme: Dass dort die Funktion -mal differenzierbar ist und die DGL erfüllt, ist offensichtlich. Beides ist allerdings auch für nachzuweisen, was die eigentliche Arbeit bei dieser Aufgabe darstellt. |
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04.11.2022, 09:14 | Atelier16 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke. Aber weiß ich durch u^(m)(b) = v^(m)(b) nicht bereits, dass f k-mal differenzierbar in b ist. Und wenn nein, wie könnte ich das zeigen ? |
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04.11.2022, 11:39 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Naja, die Funktion ist nur auf definiert. Der Wert kennzeichnet daher allenfalls die linksseitige -te Ableitung im Punkt . Analog sieht es bei aus, das ist nur eine rechtsseitige -te Ableitung im Punkt . Die Tatsache, dass beide existieren und gleich sind, sichert dann die Existenz der Gesamtableitung von . Was im wesentlichen der Beweis ist. |
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