Wahrscheinlichkeit 3 gleiche Karten

04.11.2022, 14:32	moritzab	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit 3 gleiche Karten Meine Frage: Gegeben seien 3 gleiche Kartenspiele mit je n unterscheidbaren Karten. Es wird n mal ein Drilling gezogen (von jedem Kartenspiel je eine Karte) wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass es mindestens einen Drilling mit 3 gleichen Karten gibt? Meine Ideen: Ich habe überlegt es könnte ähnlich wie beim Geburtstagsproblem gehen aber war nicht in der Lage dort von 2 gleichzeitig "gezogene" auf 3 zu abstrahieren.
04.11.2022, 15:04	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist eher das Wichtelproblem "zum Quadrat" - oder mathematisch seriös formuliert: Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei zwei zufällig gewählten Permutationen $\begin{eqnarray} \pi,\sigma \end{eqnarray}$ mindestens einen gemeinsamen Fixpunkt gibt, d.h., ein $\begin{eqnarray} i\in\{1,\ldots,n\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \pi(i) = \sigma(i) = i \end{eqnarray}$ . Kann man ebenso wie das einfache Wichtelproblem mit der Siebformel erledigen: Grundmenge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ umfasst die Menge aller Paare von Permutationen $\begin{eqnarray} (\pi,\sigma) \end{eqnarray}$ ohne Restriktionen, d.h. $\begin{eqnarray} \left\|\Omega\right\|=n!^2 \end{eqnarray}$ . Ereignis $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ : Es gilt $\begin{eqnarray} \pi(i)=\sigma(i)=i \end{eqnarray}$ Der Schnitt von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ solchen Ereignissen $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ hat dann Kardinalität $\begin{eqnarray} (n-k)!^2 \end{eqnarray}$ , und es folgt mit der erwähnten Siebformel $\begin{eqnarray} p_n = P\left( \bigcup_{i=1}^n A_i\right) = \frac{1}{n!^2} \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \binom{n}{k} (n-k)!^2 = \frac{1}{n!} \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \frac{(n-k)!}{k!} \end{eqnarray}$ Nehmen wir z.B. $\begin{eqnarray} n=32 \end{eqnarray}$ für Skatblätter, dann bedeutet das $\begin{eqnarray} p_{32}\approx 0.03075 \end{eqnarray}$ . Für größere $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ sind die ersten Summanden dieser Summe dominierend, d.h., wenn wir mal nur die ersten beiden nehmen bedeutet das Näherungswert $\begin{eqnarray} p_n \approx \frac{1}{n} - \frac{1}{2n(n-1)} \end{eqnarray}$ .
05.11.2022, 17:38	moritzab	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön! Das ergibt Sinn Aber wie kommst du darauf, dass die Kardinalität für den Schnitt (n-k)!² ist? LG
05.11.2022, 19:32	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} 1\leq i_1 < i_2 < \ldots < i_k\leq n \end{eqnarray}$ enthält $\begin{eqnarray} A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \ldots \cap A_{i_k} \end{eqnarray}$ diejenigen Paare von Permutationen $\begin{eqnarray} (\pi,\sigma) \end{eqnarray}$ , wo die $\begin{eqnarray} i_1,i_2,\ldots,i_k \end{eqnarray}$ Fixpunkte sowohl von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ sind. An diesen $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Positionen sind diese Permutationen also festgelegt, während die restlichen $\begin{eqnarray} n-k \end{eqnarray}$ Positionen beliebig durchpermutiert werden dürfen. Das ergibt jeweils $\begin{eqnarray} (n-k)! \end{eqnarray}$ solche Permutationen sowohl für $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ als auch für $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ .

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