Sigma-Algebra

04.11.2022, 15:15

HiBee123

Sigma-Algebra

Hallo Matheboard,

es soll die sigma Algebra bestimmt werden, die von
$\begin{eqnarray*} E=\{\{x\} :x \in \mathbb{R} \} \end{eqnarray*}$ erzeugt wird.

Ich hätte jetzt gesagt, das ist einfach die Potenzmenge von R, weil jedes beliebige Element von R und jede beliebige Vereinigung dieser beliebigen Elemente von R in der SigmaAlgebra liegen müssen... aber so richtig sauber finde ich meine Argumentation noch nicht

Hättet ihr Tipps, wie ich das besser fassen kann?

Grüße,
eure HiBee

04.11.2022, 15:19

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RE: sigma Algebra
Sind das nicht nur abzählbare Vereinigungen, die zur $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra gehören müssen?

04.11.2022, 15:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von HiBee123
Ich hätte jetzt gesagt, das ist einfach die Potenzmenge von R, weil jedes beliebige Element von R und jede beliebige Vereinigung dieser beliebigen Elemente von R in der SigmaAlgebra liegen müssen

Nein: Gefordert wird nur, dass abzählbare (!) Vereinigungen von Mengen der Sigma-Algebra wieder in der Sigma-Algebra liegen müssen.

Denk also nochmal nach, welche Mengen wirklich drin liegen müssen - und welche nicht.

Noch ein Hinweis: Die Borel-Sigmaalgebra enthält u.a. auch all diese Einermengen {x}, und ist gewiss kleiner als die Potenzmenge der reellen Zahlen. Die hier von dir gesuchte Sigma-Algebra ist sogar nochmal erheblich kleiner als die Borel-Sigmaalgebra, sie enthält z.B. KEINE Intervalle endlicher positiver Länge.

04.11.2022, 15:25

HiBee123

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Ach so dann sind das die abzählbaren Mengen in R und diejenigen, deren komplement abzählbar ist. In einer vorigen Aufgabe hatte ich auch bewiesen, dass das tatsächlich eine Sigma-Algebra darstellt.

04.11.2022, 15:27

HAL 9000

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Genau die ist es. Die ist sogar noch kleiner als die der Mengen, wo das Borelmaß der Menge oder das ihres Komplements gleich Null ist.

04.11.2022, 16:38

HiBee123

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okay. prima. Jetzt bin ich mir unsicher wegen der Formalien. ich würde halt so argumentieren, dass alle abzählbaren Vereinigungen drin sein müssen, dass das Komplement drin sein muss, und das wir dann eine Sigma-Algebra haben, von der E eine Teilmenge ist, und das dies die kleinste ist, und deshalb die von E erzeugte.

Passt das so in etwa?

04.11.2022, 17:07

HAL 9000

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Sei $\begin{eqnarray*} M = \left\{ A\subseteq \mathbb{R} \mid A\mbox{ oder }A^c\mbox{ abzählbar }\right\} \end{eqnarray*}$

Klar ist, dass die erzeugte Sigma-Algebra mindestens $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ umfassen muss. Wenn du zeigst, dass Mengensystem $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Sigma-Algebra ist, bist du damit fertig (und das hast du nach obigem Bekunden ja schon in einer vorigen Aufgabe getan). Das aufwändigste ist dabei sicher die Vereinigungs-Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} A_i\in M \forall i\in \mathbb{N} \quad\Longrightarrow\quad \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\in M \end{eqnarray*}$ ,

da dort zwei Fälle zu betrachten sind

1.Fall: Alle $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ abzählbar.

2.Fall: Es gibt ein $\begin{eqnarray*} A_j \end{eqnarray*}$ , das nicht abzählbar ist.

04.11.2022, 17:41

HiBee123

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Jupp. hab ich auch so gemacht und dann De Morgan angewandt, und dann war es relativ gut ersichtlich.

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