e-Funktion der Form: (a-e^(-xb)) aus zwei Punkten bestimmen

04.11.2022, 18:40

Hasebe

e-Funktion der Form: (a*-e^(-x*b)) aus zwei Punkten bestimmen

Meine Frage:
Mein Problem ist, dass ich anhand von Verkaufszahlen von einem Produkt, eine e-Funktion erstellen soll, mit der man den Verlauf darstellen kann. Für Funktionen der Art:a*e^(x+b) weiß ich, wie es geht. Jedoch nimmt das Wachstum der Verkaufszahlen ab bzw, die Verkaufszahlen nähern sich immer mehr einem bestimmten Wert an, weshalb es, so wie ich es verstehe, auch die Form:a*-e^(-x*b) sein sollte. Kann mir jemand erklären, wie ich hier vorzugehen habe und es am besten noch an einem Beispiel erklären?

Vielen Dank im Voraus

Meine Ideen:
.

04.11.2022, 18:54

adiutor62

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RE: e-Funktion der Form: (a*-e^(-x*b)) aus zwei Punkten bestimmen
Setze die Punkte ein und diviidiere die 1. Gleichung durch die 2.
Dabei fällt a raus und du kannst b bestimmen.

04.11.2022, 20:25

limited

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Zitat:

Jedoch nimmt das Wachstum der Verkaufszahlen ab bzw, die Verkaufszahlen nähern sich immer mehr einem bestimmten Wert an

Du meinst vermutlich das so genannte beschränkte Wachstum, siehe auch hier :

de.wikipedia.org/wiki/Beschr%C3%A4nktes_Wachstum#Explizite_Darstellung_(Wachstumsfunktion)

Vielleicht meinst du ja mit deinem Termversuch eher sowas wie $\begin{eqnarray*} f(x)=a-b \cdot e^{k \cdot x} \end{eqnarray*}$

Das Minuszeichen im Exponenten kann man, muss man aber nicht machen.
Es ergibt sich bei meiner Darstellung automatisch ein negativer Wert für k, wenn man entsprechende Punkte/Eigenschaften nutzt.

Kennst du den Anfangswert f(0) und/oder die obere Schranke S ?
Mit f(0) könnte man einen Zusammenhang zwischen a und b bekommen und damit z.B. das b in f(x) durch a ausdrücken (Einsetzungsverfahren).

Zitat:

Für Funktionen der Art:a*e^(x+b) weiß ich, wie es geht.

Solche Termarten sind zwar theoretisch möglich, aber eher ungewöhnlich zur Beschreibung eines Sachzusammenhangs.
Meinst du nicht eher sowas wie $\begin{eqnarray*} f(x)=a \cdot e^{b \cdot x} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(x)=a \cdot e^{x}+b \end{eqnarray*}$ ?

04.11.2022, 20:47

klauss

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RE: e-Funktion der Form: (a*-e^(-x*b)) aus zwei Punkten bestimmen
Da Wikipedia schon genant wurde, anschaulich (ohne DGL):
Wir haben eine Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=ae^{-kx} \end{eqnarray*}$ (1)
und wollen die auf begrenztes exponentielles Wachstum trimmen.
Wir spiegeln zuerst an der x-Achse zu
$\begin{eqnarray*} f(x)=-ae^{-kx} \end{eqnarray*}$ (2)
Dann schieben wir sie so weit nach oben, dass der gegebene Grenzwert $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ im Sachzusammenhang die Asymptote ist:
$\begin{eqnarray*} f(x)=S-ae^{-kx} \end{eqnarray*}$ (3)
Zuletzt schieben wir sie noch so weit nach links, dass sie die y-Achse in der Höhe $\begin{eqnarray*} B_{0} \end{eqnarray*}$ schneidet, was der Anfangsbestand zur Zeit 0 ist.
Mit ein bißchen rechnen, erhält man den Betrag der Verschiebung
$\begin{eqnarray*} \frac{\ln\left(\frac{S-B_{0} }{a} \right) }{-k} \end{eqnarray*}$

Nach bestmöglicher Bereinigung erhält man so die Funktion des begrenzten exponentiellen Wachstums
$\begin{eqnarray*} f(x)=S-\left(S-B_{0} \right)e^{-kx} \end{eqnarray*}$ (4)

@Hasebe:
Nun solltest Du nachliefern, welche Aufgaben Du genau zu lösen hast, insbesondere, ob Dein Wachstum mit einem Anfangsbestand $\begin{eqnarray*} B_{0}=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ beginnt.

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