Berechnungen an Kugel und Ebenen

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Cinzio20 Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnungen an Kugel und Ebenen
Hallo zusammen

Ich habe den Mittelpunkt einer Kugel gegeben (2 ; 4 ; 0) sowie einen Punkt auf der Kugel (4 ; 5 ; -2).
Zudem habe ich die Ebene E gegeben: E: x+2y+2z+26=0

Wie kann ich den Punkt auf der Kugel finden, der am nächsten an E liegt?

Idee: Normalvektor zu E nehmen und Abstand zu M minimieren. Ist das ok so?
Wie würde das funktionieren mit dem Minimieren?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugel
Wenn man von M aus entlang des Normalenvektors sich in Richtung der Ebene bewegt, ist der Durchstoßpunkt durch die Kugeloberfläche auf diesem Weg am nächsten zur Ebene.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

... sofern, was wir hoffen wollen, die Ebene die Kugel nicht schneidet.
Cinzio20 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugel
Vielen Dank, das hat geklappt. smile

Jetzt habe ich noch eine Verständnisfrage. Die Ebene E von oben sowie T: 2x + y -2z -17=0 sind gegeben. Die zwei Ebenen stehen senkrecht zueinander.

Wie ist diese Aufgabe zu verstehen: "Betrachte den Durchmesser der Kugel, der parallel zu E und T verläuft. Bestimme seine Anfangs und Endpunkte."

Wie ist das möglich, parallel zu E und zu T sein?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Maurer benutzen ein Lot, und dieses ist parallel zu jeder senkrechten Mauer. Weil das so gut klappt stehen die Pyramiden und Tempel nach tausenden Jahren noch.

Mit anderen Worten : Im Raum ist jede Gerade parallel zu unendlich vielen Ebenen.
Cinzio20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das macht Sinn.
Aber wie finde ich die hier im konkreten Fall?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

E und T sind senkrecht zueinander, schneiden sich also in einer Geraden g. Konstruiere den Durchmesser d als parallele Gerade zu g durch den Mittelpunkt der Kugel und schneide d mit der Kugel.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Anders ausgedrückt:
Der Durchmesser, der parallel zu E und T verläuft, ist senkrecht zu einer dritten Ebene, die ihrerseits senkrecht zu E und T ist.
Der gesuchte Durchmesser verläuft also in Richtung des Normalenvektors dieser dritten Ebene.
Du kannst daher berechnen

wenn die Länge des Kugelradius besitzt.


[attach]56235[/attach]


Edit: Bild auf Hinweis von hawe korrigiert.
hawe Auf diesen Beitrag antworten »

@klauss
Ich lern grad ggb CAS an um einzelne Rechenschritte darzustellen die bei Änderungen auch "durchrechnen" und hab zufällig diese Aufgabe nachgerechnet.

Mein Bild weicht von Deinem ab.
T ist Tangentenebene im Punkt (P) (4 ; 5 ; -2)
Die zAchse geht nicht durch die Kugel

Wenn Du düberschauen willst?
https://www.geogebra.org/m/ghx6qsxy
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugel
@hawe:
Du hast Recht. Ich hatte glaublich einen falschen Kugelradius verwendet. Jetzt sollte es stimmen.
Cinzio20 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugel
Hallo zusammen

Vielen Dank für eure Beiträge. Vom Vorgehen her scheint mir die Sache nun klarer zu sein. Allerdings stehe ich immernoch etwas auf dem Schlauch. Folgendes habe ich bisher gemacht:

Das Vektorprodukt beider Normalvektoren wird und den Richtungsvektor der Geraden g (Schnittgerade beider Ebene) angeben. Da habe ich den Vektor (-6, 6, -3) gekriegt.
Nun kann ich mit Hilfe der Info über den Radius (= 3) folgende Gleichung aufstellen:
| (2, 4, 0) + t * (-6, 6, -3) | = 3.

...und nach t auflösen. Allerdings kann da etwas nicht stimmen... Könnte mir jemand sagen, was da falsch gelaufen ist?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugel
Du mußt nicht nach t auflösen. Wenn Du auf Länge 3 bringst, ist t automatisch = 1. Und Länge 3 erhält man hier praktischerweise schon, indem man einfach ganzzahlig kürzt.
Cinzio20 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugel
Ah natürlich! Danke für die Hilfe! smile
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