Vollständige Induktion (b-a Teiler von b^n-a^n)

06.11.2022, 12:17	TryingToUnderstand	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion (b-a Teiler von b^n-a^n) Meine Frage: Hallo mal wieder, Heute habe ich bei meiner Aufgabe nur die Bitte um Feedback, ob ich sie richtig gelöst habe . Sie geht wie folgt: Seien a,b in Z. Beweisen sie mit vollständiger Induktion, dass b-a eine Teiler von b^n-a^n für alle n in N Meine Ideen: Das hab ich wie folgt beweisen: Für n = 1: Leicht beweisen, da b^1-a^1 = b-a, was durch b-a teilbar ist. Für n = n+1: Es gilt: b-a ein Teiler für beliebigen n in N: Dann gilt für n+1: b-a ein Teiler von b^(n+1)-a^(n+1): b^(n+1)-a^(n+1) = b^nb-a^na=(b-a)((b^n/a)(a^n/b)), was durch b-a teilbar ist, weil es b-a als Vorfaktor hat. Ich bedanke mich wieder für alle Hilfestellungen und Verbesserungsvorschläge
06.11.2022, 12:53	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion (b-a Teiler von b^n-a^n) Nein, so geht es nicht denn warum sollte $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ Teiler von $\begin{eqnarray} b^n \end{eqnarray}$ sein? Man kann sich hier wieder behelfen, indem man eine nahrhaften Null addiert $\begin{eqnarray} b^na-b^na \end{eqnarray}$
06.11.2022, 17:11	TryingToUnderstand	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion (b-a Teiler von b^n-a^n) Wie immer erstmal danke für die Antwort . Ich muss sagen, dass mir das mit der Null aber nicht wirklich weiter geholfen hat, weil bei mir immer noch ein Term übrig bleibt, der nicht durch b-a teilbar ist. Wenn ich die Null hinzufüge komme ich mit ein paar Umstellungen auf = b^n(b-a)+b^na-a^na der erste Teil sollte wieder durch b-a teilbar sein wegen dem Vorfaktor, der nach dem + jedoch nicht. Die Idee mit dem a als Teiler kam daher, dass ich im ersten Schritt je gezeigt hatte, dass b^1-a^1 durch b-a teilbar war, woraus ich gefolgert hatte, dass b^nb-a^na auch durch b-a teilbar sein sollte . Ich habs mal damit versucht, die Null noch mit a^nb-a^nb zu erweitern. Damit bin ich weitergekommen, denk ich: =b^n(b-a)-a^n(b-a)+b^na-a^na=(b-a)(b^n-a^n)+b^na-a^n*a Im Prinzip ist (b^n-a^n) jetzt durch b-a teilbar, nur glaub ich nicht, dass das als Beweis reicht wegen dem Zusatz.
06.11.2022, 17:14	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion (b-a Teiler von b^n-a^n) Natürlich ist $\begin{eqnarray} b^na-a^na \end{eqnarray}$ durch b-a teilbar. Hast du deine Induktionsvoraussetzung schon irgendwo benutzt?
09.11.2022, 14:51	TryingToUnderstand	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion (b-a Teiler von b^n-a^n) Hallo nochmal. Ich war etwas beschäftigt, deswegen kommt meine Antwort etwas spät, Sorry . Also zu deiner Antwort: Ich hätte es so gelöst:: Voraussetzungen ist ja, dass b-a Teiler für beliebiges N. Dann mit $\begin{eqnarray} b^na -a^n * n = a* (b^n-a^n) \end{eqnarray}$ , was durch b-a teilbar ist, weil $\begin{eqnarray} b^n-a^n \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung durch b-a teilbar ist. So richtig ?
09.11.2022, 17:11	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion (b-a Teiler von b^n-a^n) Ja, so war das gedacht
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09.11.2022, 17:15	TryingToUnderstand	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion (b-a Teiler von b^n-a^n) Perfekt, dann vielen Dank an Dich URL

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