Binomischer Lehrsatz Umformung

07.11.2022, 08:59

Binomi

Binomischer Lehrsatz Umformung

Hey,

ich möchte gerne verstehen, wie man diese Summe umformt $\begin{eqnarray*} \sum_{x=0}^{n} \binom{n}{2x} (1-a)^{2x} a^{n-2x} = \frac{1}{2}((2a-1)^n+1) \end{eqnarray*}$ . Ich weiß nicht, ob eine Substitution hier so geeignet ist? Ich sehe hier keinen richtigen Ansatz zur Umformung... verwirrt

07.11.2022, 09:30

HAL 9000

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Man entwickelt nach Binomischen Satz die beiden Potenzen $\begin{eqnarray*} \left(a - (1-a)\right)^n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \left(a + (1-a)\right)^n \end{eqnarray*}$ und addiert die beiden entstehenden Summen.

P.S.: Es reicht aus, die Summe bis zu $\begin{eqnarray*} x=\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor \end{eqnarray*}$ zu führen, da für $\begin{eqnarray*} x>\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor \end{eqnarray*}$ ja $\begin{eqnarray*} \binom{n}{2x}=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

07.11.2022, 10:19

Binomi

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Zitat:

Original von HAL 9000
Man entwickelt nach Binomischen Satz die beiden Potenzen $\begin{eqnarray*} \left(a - (1-a)\right)^n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \left(a + (1-a)\right)^n \end{eqnarray*}$ und addiert die beiden entstehenden Summen.

Danke für deine Antwort. Aber wie kommt man denn auf die Idee? verwirrt

07.11.2022, 10:26

HAL 9000

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Was ist so ungewöhnlich daran, von einer Struktur wie $\begin{eqnarray*} \sum_{x=0}^n \binom{n}{2x} {\color{red}(1-a)}^{2x} {\color{blue}a}^{n-2x} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \left({\color{blue}a} \pm {\color{red}(1-a)}\right)^n \end{eqnarray*}$ zu kommen? Für mich völlig naheliegend, auch angesichts des im Summanden enthaltenen Binomialkoeffizienten.

07.11.2022, 10:41

Binomi

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Dann haben wir:

$\begin{eqnarray*} (a-(1-a))^n = \sum\limits_{x=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n}{x} a^{n-x} (-(1-a))^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a+(1-a))^n = \sum\limits_{x=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \binom{n}{x} a^{n-x} (1-a)^x \end{eqnarray*}$

richtig? Bei dem Index der Summe bin ich mir nicht sicher...

07.11.2022, 11:22

HAL 9000

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Nein, der Index läuft bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ im Binomischen Satz. Und ich nenne den Index (aus bestimmten später ersichtlichen Gründen) auch erstmal nicht $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left(a - (1-a)\right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} (-1)^k (1-a)^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(a + (1-a)\right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} (1-a)^k \end{eqnarray*}$

Die Summe beider Formeln ergibt $\begin{eqnarray*} (2a-1)^n + 1^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left[(-1)^k+1\right] a^{n-k} (1-a)^k \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} (-1)^k+1 = 2 \end{eqnarray*}$ für gerade $\begin{eqnarray*} k=2x \end{eqnarray*}$ , während $\begin{eqnarray*} (-1)^k+1 = 0 \end{eqnarray*}$ für ungerade $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gilt, damit kann man die ungeraden Indizes auch weglassen...

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