Kongruenz in F[x]

08.11.2022, 12:37

Stud08112022

Kongruenz in F[x]

Hallo,

Ich habe eine Frage zu dieser Behauptung:

Wenn man die Kongruenz modulo $\begin{eqnarray*} x^2 +1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \end{eqnarray*}$ betrachtet, dann gibt es eine Kongruenzklasse für jeden möglichen Rest bei der Division durch $\begin{eqnarray*} x^2 + 1 \end{eqnarray*}$ . Die mögliche Reste sind Polynome der Form $\begin{eqnarray*} ax+b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Daher besteht $\begin{eqnarray*} R[x]/(x^2 + 1) \end{eqnarray*}$ aus unendlich vielen verschiedenen Kongruenzklassen, darunter [0], [x], [x+1], ...

Meine Frage ist jetzt, wie man darauf kommt, dass die "Restpolynome" die Form $\begin{eqnarray*} ax+b \end{eqnarray*}$ haben, es könnten doch auch "Restpolynome" der Form $\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c, \, a,b,c \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ auftreten?. Kann man das irgendwie zeigen/herleiten? Diese "Beschränkung" auf Polynome der Form $\begin{eqnarray*} ax+b \end{eqnarray*}$ verwirrt mich hier etwas...

Vielen Dank!

08.11.2022, 13:18

Elvis

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Du schreibst $\begin{eqnarray*} F[x], \mathbb R[x], R[x] \end{eqnarray*}$ , ich nehme mal an, du meinst den Polynomring über den reellen Zahlen.

$\begin{eqnarray*} (ax^2+bx+c) : (x^2+1)=a \end{eqnarray*}$ Rest $\begin{eqnarray*} bx+c-a \end{eqnarray*}$ hat wieder nur ein Polynom vom Grad 1 als Rest. Damit ist die Behauptung schon mal soweit bewiesen, dass kein quadratisches Polynom als Rest übrig bleibt.

08.11.2022, 14:12

Stud08112022

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Hey Elvis,

hier hat sich ein Tippfehler eingeschlichen, ich meinte $\begin{eqnarray*} ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray*}$ . Auch für größere Polynome bleibt doch dann ein größerer Rest übrig? Wie zeigt man denn dass für die Restpolynome $\begin{eqnarray*} ax+b \end{eqnarray*}$ gilt?

08.11.2022, 14:21

Elvis

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Man zeigt es, indem man ein beliebiges Polynom durch $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ dividiert. $\begin{eqnarray*} (ax^n+...) : (x^2+1)=ax^{n-1}+... \end{eqnarray*}$ Rest $\begin{eqnarray*} bx+c \end{eqnarray*}$ probier's mal mit einem Polynom vom Grad 4, dann siehst du es direkt.

08.11.2022, 15:18

Stud08112022

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Hey Elvis,

Richtig! Aber einen formalen Beweis gibt es nicht?

08.11.2022, 15:22

HAL 9000

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Was willst du noch beweisen? Dass bei einer Polynomdivision der Rest ein Polynom von kleinerem Grad als das Divisor-Polynom ist? verwirrt

08.11.2022, 15:41

Elvis

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Das habe ich schon zu Anfang bewiesen. Wenn der Rest einen Grad größer oder gleich 2 hat, kann man ihn durch $\begin{eqnarray*} x^2 +1 \end{eqnarray*}$ dividieren, wodurch der Rest einen kleineren Grad bekommt.

08.11.2022, 18:01

Stud08112022

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Zitat:

Original von Elvis
Das habe ich schon zu Anfang bewiesen. Wenn der Rest einen Grad größer oder gleich 2 hat, kann man ihn durch $\begin{eqnarray*} x^2 +1 \end{eqnarray*}$ dividieren, wodurch der Rest einen kleineren Grad bekommt.

Ach ja! Das ist es! Sorry Hammer

08.11.2022, 19:52

Elvis

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Okay. Falls du es noch nicht bemerkt hast, kann man $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} i=\sqrt {-1} \end{eqnarray*}$ ersetzen, weil das eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ ist. Dadurch wird $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x]/(x^2+1)\cong\mathbb R[i]=\{a\cdot i+b|a,b\in \mathbb R\}=\mathbb C \end{eqnarray*}$ mit der üblichen Addition und Multiplikation zum Körper der komplexen Zahlen. Viel Spaß damit.

11.11.2022, 19:42

Anfaenger1

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R[x] ist ein Polynomring über den reellen Zahlen, aber wie nennt man denn sowas R[x]/(p(x)) ?, wobei das p(x) ein Polynom ist.

11.11.2022, 19:57

Elvis

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Faktorring oder Quotientenring ist ein Ring, den man als Faktormenge oder Quotientenmenge nach einer Äquivalenzrelation bekommt. So wie man eine Gruppe nach einem Normalteiler faktorisiert, kann man einen Ring nach einem Ideal faktorisieren. Nach den entsprechenden Homomorphiesätzen tragen die Faktormengen Gruppenstruktur bzw. Ringstruktur. Faktorringe nach Primidealen sind Integritätsringe und Faktorringe nach maximalen Idealen sind sogar Körper (so wie in diesem Beispiel).

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