Alle Lösungen für die Gleichung : x(x7) = 4**(1/7) für x > 0

08.11.2022, 23:48

what to do

Alle Lösungen für die Gleichung : x**(x**7) = 4**(1/7) für x > 0

Meine Frage:
Aufgabe: Alle Lösungen für die Gleichung : x**(x**7) = 4**(1/7) für x > 0

Meine Ideen:
Habe eine Lösung gefunden: x = 2**(1/7), x ist ungefähr 1.1 > 1.
Ich definiere nun zwei Funktionen: f(x) := x**(x**7) und g(x) := 4**(1/7) = const. für x > 0
Wenn ich beweisen könnte, dass f(x) streng monoton steigend ist, wäre ich fertig.
Das wäre bewiesen, wenn ich zeigen könnte, dass f'(x) > 0 für x > 0:
f'(x) = exp[x**7*log(x)] * x**6 * [1+7*logx].
Klar, der Faktor exp[x**7*log(x)] ist > 0, und der Faktor x**6 ist > 0, der Faktor 1+7*logx ist für x >= 1 größer als 0. Der Faktor 1+7*logx ist aber im Intervall ]0,1[ auch negativ.

09.11.2022, 02:52

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RE: Alle Lösungen für die Gleichung : x**(x**7) = 4**(1/7) für x > 0
Betrachte den Grenzwert von f für $\begin{eqnarray*} x \to 0+ \end{eqnarray*}$

09.11.2022, 06:36

G091122

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RE: Alle Lösungen für die Gleichung : x**(x**7) = 4**(1/7) für x > 0
Was bedeuten die beiden Sternchen? verwirrt

09.11.2022, 08:36

HAL 9000

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** soll vermutlich Potenzierung bedeuten, d.h., es ist Gleichung $\begin{eqnarray*} x^{x^7} = 4^{\frac{1}{7}} \end{eqnarray*}$ gemeint.

Zitat:

Original von what to do
Der Faktor 1+7*logx ist aber im Intervall ]0,1[ auch negativ.

Da die Funktion in diesem Intervall ]0,1[ nicht monoton wachsend ist, überlegt man sich dort halt was anderes: Für $\begin{eqnarray*} 0 < x < 1 \end{eqnarray*}$ gilt ebenfalls $\begin{eqnarray*} 0 < x^y < 1 \end{eqnarray*}$ sofern Exponent $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ positiv ist. Was im vorliegenden Fall mit $\begin{eqnarray*} y=x^7 \end{eqnarray*}$ der Fall ist. Somit gilt $\begin{eqnarray*} 0 < x^{x^7} < 1 \end{eqnarray*}$ in diesem Intervall, während $\begin{eqnarray*} 4^{\frac{1}{7}} > 1 \end{eqnarray*}$ ist. Daher keine Lösung in diesem Intervall. Ist die rechte Seite hingegen etwas kleiner als 1 (aber nicht zuviel), dann gibt es tatsächlich zwei positive Lösungen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (bestimmbar - wie so oft bei derlei Strukturen - mit LambertW-Funktion).

09.11.2022, 10:25

mYthos

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[attach]56249[/attach]

Damit es in dem Intervall [0;1] Lösungen (meist 2) gibt, muss der Wert der rechten Seite kleiner als 1 und größer als rd. 0.95 liegen.
Die angegeben Gleichung hat in [0;1] keine Lösung, mit der gegebenen rechten Seite ist x etwa 1.1

mY+

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